сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля

[romka_pomka]

Электромагнитное поле, Ч2, Мешков И.Н. Чириков Б.В.,1987, $\S$ 98 "Принцип Гюйгенса-Френеля", с. 44.

Цитата:

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля поле в точке $P$ за экраном (рис. XV.6) есть суперпозиция сферических волн, исходящих из различных точек отверстия в экране:

$E_p = A \int\limits_S\int dS \frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}, \qquad\qquad\eqno (98\;1)$

где $E(S)$ - напряженность поля в точке $S$ отверстия, $A$ - коэффициент, подлежащий определению.

Хочется проверить, удовлетворяет ли такая сферическая волна $\frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}$ уравнению: $\Delta \mathbf{E(R)} + \varepsilon\mu\frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0$, но не понятно куда направлен вектор напряженности поля в сферической волне. Помогите разобраться, пожалуйста.

[obar]

romka_pomka в сообщении #551048 писал(а):

не понятно куда направлен вектор напряженности поля в сферической волне

Туда же, куда и в т. S.

romka_pomka в сообщении #551048 писал(а):

Хочется проверить, удовлетворяет ли такая сферическая волна $\frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}$ уравнению: $\Delta \mathbf{E(R)} + \varepsilon\mu\frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0$

Не удовлетворяет. Сферическая волна -- это $\frac{E(S)}{R}e^{i({kR}-\omega t)}$ (без скалярного произведения в экспоненте). Если так записать, то удовлетворяет (в вакууме).

[romka_pomka]

obar в сообщении #551059 писал(а):

Туда же, куда и в т. S.

Тогда в декартовых координатах $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ и действует на каждую компоненту вектора независимо.

obar в сообщении #551059 писал(а):

Сферическая волна -- это (без скалярного произведения в экспоненте). Если так записать, то удовлетворяет (в вакууме).

1. Допустим "в вакууме": $\varepsilon\mu = 1$
2. Допустим в книге описка, и волновой вектор будем читать как волновое число, не зависящее от координат. Действие оператора $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ на волну $\frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR}$:

$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} = \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2).$$

Далее, вглядываясь в уравнение

$$\Delta \mathbf{E(R)} + \frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0,$$

делаем вывод, что оно удовлетворяется не для всех $R$, а только для тех, которые удовлетворяют равенству: $\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2 = -\frac{\omega^2}{c^2}$

Наверное, я где-то напутал, но не пойму где.

[Munin]

Проблема в том, что электрическое поле - векторное. А ежа (сферу) причесать нельзя. Поэтому не бывает сферической электромагнитной волны с полной сферической симметрией. Вместо этого бывают волны почти сферические, которые асимптотически ведут себя как $(E_0(\varphi,\theta)/R)\exp(ikR-i\omega t),$ то есть с угловой зависимостью. И рассматриваются волны последовательных членов ряда мультипольного разложения: дипольные, квадрупольные, и т. д., и каждые - "электрического" и "магнитного" типа (отличающиеся поворотом векторов полей на 90°). Для них и можно записать точные выражения, удовлетворяющие волновому уравнению везде (кроме начала координат).

Так что, то, что в источнике цитаты сразу было оговорено, что рассматривается волна в точке $S$ - это не пустой каприз и не ничего не значащие слова, а существенная оговорка. Вблизи от этой точки волна будет иметь приведённый вид. А вдали - хренушки.

[romka_pomka]

Так... Пойду думать. (что-то не нравятся мне их "существенные оговорки")

[Munin]

А, пардон, обознатушки. $S$ - это точка экрана отверстия в экране, из которой исходит волна, так что я зря приписал ей роль параметра, указывающего направление.

А интеграл, видимо, записан в приближении скалярных волн, которое до некоторой точности верно и для электромагнитных.

[obar]

romka_pomka в сообщении #551082 писал(а):

$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} = \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2).$$

Вы просто допустили алгебраическую ошибку: первые два слагаемые должны сокращаться (у вас даже размерности не совпадают).

[Munin]

Эта же тема рассмотрена в Ландау, Лифшиц "Теория поля" ("Теоретическая физика" том 2) § 59, со ссылками на § 54, там, вроде, оговорены все используемые приближения и обозначения.

[romka_pomka]

obar в сообщении #551148 писал(а):

у вас даже размерности не совпадают

Упс! Согласен - непростительно. Каюсь и исправляюсь:

$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} = \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(- \frac{2}{R^2} - k^2).$$

Munin в сообщении #551151 писал(а):

Эта же тема рассмотрена в Ландау, Лифшиц "Теория поля" ("Теоретическая физика" том 2) § 59, со ссылками на § 54, там, вроде, оговорены все используемые приближения и обозначения.

Спасибо, обязательно посмотрю.

[obar]

romka_pomka в сообщении #551180 писал(а):

Каюсь и исправляюсь

Опять неправильно. Слагаемые с $1/R^2$ должны сократиться. Распишите лаплас в сферических координатах.

[romka_pomka]

obar в сообщении #551198 писал(а):

Распишите лаплас в сферических координатах.

$$ \mathbf{E} = E(0)\frac{e^{ikR}}{R}\begin{pmatrix} \cos{\theta}\\-\sin{\theta} \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\Delta\mathbf{E} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{E} - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E}$$

obar в сообщении #551198 писал(а):

Слагаемые с $1/R^2$ должны сократиться.

Мне бы этого тоже хотелось. Завтра еще разок перепроверю.

[obar]

Да все гораздо проще. Во-первых поле $\mathbf{E}(S)$ имеет фиксированные компоненты. Во-вторых

$$ \Delta\mathbf{E}=\mathbf{E}(S)\Delta\frac{e^{ikr}}{r}=\mathbf{E}(S)\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}(S)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}. $$

[romka_pomka]

obar в сообщении #551232 писал(а):

Да все гораздо проще. Во-первых поле $\mathbf{E}(S)$ имеет фиксированные компоненты. Во-вторых

$$ \Delta\mathbf{E}=\mathbf{E}(S)\Delta\frac{e^{ikr}}{r}=\mathbf{E}(S)\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}(S)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}. $$

Это же не спортивно. Да и дивергенция этого поля все равно не равна нулю.

[obar]

Дивергенцию нужно проверять для результирующего поля $E_p$.

[romka_pomka]

obar в сообщении #551245 писал(а):

Дивергенцию нужно проверять для результирующего поля .

А ротор ротора тогда почему лапласиану приравниваем и проверяем уравнение с лапласианом на это "нерезультирующее" поле? Зачем нам волновое уравнение (или ур-е Гельмгольца), если дивергенция не равна нулю?