голоморфное отображение кольца

[Oleg Zubelevich]

Функция $f(z),\quad z\in\mathbb{C}$ голоморфна в кольце $K=\{1<|z|<2\}$. Доказать, что если $\overline{f(K)}\subseteq K$ то $f$ имеет неподвижную точку.

[sup]

Без потери общности можно считать, что $f(z)$ голоморфна в некоторой окрестности кольца (иначе рассмотрим чуть более узкое кольцо $K = \{1 +\varepsilon < |z| < 2-\varepsilon \}$). Из условия задачи следует, что $\left |\frac {f(z)}{z}\right | < 1$ если $|z| = 2$ и $\left |\frac {f(z)}{z}\right | > 1$ если $|z| = 1$. По непрерывности отсюда легко получаем, что $f(z_0)=\lambda_0 z_0$ для некоторых $z_0$ и $|\lambda_0 | = 1$. Но тогда уравнение $\frac {f(z)}{z} = \lambda$ разрешимо и при всех $\lambda$ близких к $\lambda_0$. Учитывая неравенство $\left |\frac {f(z)}{z}\right | \neq 1$ на $\partial K$ отсюда уже легко протащить "по непрерывности" и разрешимость уравнения $\frac {f(z)}{z} = 1$.
Более интересный вопрос: можно ли как-нибудь обобщить этот результат на непрерывные отображения кольца (без голоморфности). Разумеется, при дополнительных предположениях, исключающих "малые возмущения" поворотов. Для последних, неподвижных точек, очевидно, может и не быть.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #550720 писал(а):

Учитывая неравенство $\left |\frac {f(z)}{z}\right | \neq 1$ на $\partial K$ отсюда уже легко протащить "по непрерывности" и разрешимость уравнения $\frac {f(z)}{z} = 1$.

для меня такие штуки не очевидны, поэтому я верю скорее Вам на слово, cам я решал эту задачу с помощью метрики типа метрики Каратеодори. Сводил принципу сжатых отображений. Писанины много воспроизводить не буду.

[sup]

Да все очень просто. Утверждается следующее. Если образ $f(z)/z$ содержит хотя бы одну точку окружности $|\lambda| = 1$, то он содержит и всю окружность. Разумеется, в общем случае это не так, но у нас есть условие $|f(z)/z| \neq 1$ на $\partial K$. Для доказательства этого утверждения прежде всего заметим следующее. Пусть $f(z_0)/z_0 = \lambda_0$ и $z_0 \in K$. Тогда $f(z)/z$ отображает некоторую малую окрестность $z_0$ (напомним, $K$ - открыто) в окрестность $\lambda_0$ (именно здесь мы и используем тот факт, что $f(z)$, а вместе с ней и $f(z)/z$ голоморфная функция). Иными словами, уравнение $f(z)/z = \lambda $ разрешимо для всех $\lambda$ из некоторой окрестности $\lambda_0$. Доказательство этого факта легко вытекает, например, из теоремы Руше или даже из разложения $f(z)/z$ в ряд Тэйлора в окрестности точки $z_0$. Далее, множество $|\lambda| = 1$ для которых уравнение $f(z)/z = \lambda $ разрешимо в $K$ очевидным образом замкнуто. Ну вот собственно и всё. Непустое замкнутое множество на окружности вместе с каждой точкой содержит и некоторую ее окрестность. Значит это множество - вся окружность.
Ну или еще по другому, для голоморфных отображений внутренние точки области переходят во внутренние точки образа этой области. Но (по условию) никакая точка окружности $|\lambda| = 1$ не может принадлежать границе образа $K$ под действием $f(z)/z$. Следовательно эта окружность либо целиком внутри образа, либо целиком снаружи.
Кстати, когда я говорил об обобщениях на непрерывные отображения, то имел в виду следующее. Для простоты начнем с окружности. Для каких непрерывных отображений окружности в себя можно гарантировать существование неподвижной точки? Пусть точка пробегает окружность в положительном направлении. При этом ее образ под действием $f$ сделает некоторое количество оборотов $N$ в положительном направлении вокруг нуля ($N$ может быть и отрицательным). Легко показать, что если $N \neq 1$, то отображение имеет неподвижную точку. Отсюда напрашивается обобщение на кольцо.
Пусть $f(z)$ непрерывно отображает кольцо $K = \{1 \leqslant |z| \leqslant 2\}$ в себя. При этом образ точки $z$, пробегающей окружность $|z| = 2$ в положительном направлении, совершает $N$ оборотов в положительном направлении вокруг нуля. Доказать: если $N \neq 1$, то $f(z)$ имеет неподвижную точку.
Сначала мне показалось, что это "интересное" обобщение, но вскоре выяснилось, что имеется довольно простое доказательство. Так что "все уже украдено до нас" $\copyright$

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #551022 писал(а):

Если образ $f(z)/z$ содержит хотя бы одну точку окружности $|\lambda| = 1$, то он содержит и всю окружность.

вот так понятно, меня "протаскивание по непрерывности" вырубило, значит Вы доказываете, что множество $\lambda,\quad |\lambda|=1$ для которых уравнение разрешимо не пусто. Потом доказываете, что оно открыто и замкнуто одновременно. ok

sup в сообщении #551022 писал(а):

Сначала мне показалось, что это "интересное" обобщение, но вскоре выяснилось, что имеется довольно простое доказательство

я думаю, что все это и даже гораздо больше вытекает из соображений топологической степени

sup в сообщении #551022 писал(а):

ак что "все уже украдено до нас" $\copyright$

Я более оптимистично настроен, уж во-всяком случае, не на основании этих задачек делать такие выводы

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #551026 писал(а):

я думаю, что все это и даже гораздо больше вытекает из соображений топологической степени

Ну в общем, да. Для функций действующих строго внутрь кольца достаточно рассмотреть вращение векторного поля $f(z)-z$. На внешней границе доминирует $z$ поэтому там получаем 1. А на внутренней доминирует $f(z)$ и там получим $N$ ...
В общем случае сначала организуем небольшое возмущение функции (сводя к предыдущему), а потом предельный переход.

[Oleg Zubelevich]

кстати, утверждение из головного поста остается верным для случая, когда $K$ -- произвольная ограниченная область с хорошей границей