Вычеты. Правильно ли решил?

[samson4747]

Посчитать вычеты во всех ИОТОХ.

Пример $\mathbf{1^\circ.}$

$$f(z)=\dfrac{\sin z}{1-\cos z};$$

$z_k=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$ это ИОТОХи $f(z)$, которые являются простыми полюсами $f(z)$.
$\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z_k}\,f(z)=\lim\limits_{z\to{z_k}}\dfrac{(z-2\pi k)\sin z}{1-\cos z}=\dots=2$.
$z=\infty$ не является особой точкой(предельная точка простых полюсов).
Поэтому теорему о полной сумме вычетов применить нельзя.

Пример $\mathbf{2^\circ.}$

$$f(z)=\dfrac{\cos z}{(z-1)^2};$$

$z=1,\ z=\infty$ являются полюсом второго порядка и существенной особой точкой соответственно.
$\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{1}\,f(z)=\lim\limits_{z\to{1}}\left((z-1)^2 f(z)\right)'=-\sin 1$.
По теореме о полной сумме вычетов $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\infty}\,f(z)=\sin 1$.