Неразложимость многочлена

[JMH]

Требуется доказать, что определитель
$\Delta=\begin{vmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{vmatrix}$
неразложим в кольце многочленов $G[x_{11},\cdots,x_{nn}]$. Для этого предлагается фиксировать произвольную переменную, скажем, $x_{11}$ и показать, что многочлен $\Delta$ имеет содержание 1 относительно остальных переменных.

С указанием всё просто - многочлен $\Delta$ имеет $n!$ слагаемых, из которых только $(n-1)!$ имеют множитель $x_{11}$, прочие слагаемые имеют множитель 1, соответственно, при фиксированном $x_{11}$ содержание многочлена равно 1. Но увы, не могу сообразить, как отсюда следует неразложимость... Заранее признателен.

[JMH]

Может быть многочлен неразложим потому, что в противном случае его коэффициэнты были бы разложимыми над $\mathbb{Z}$?

[JMH]

Не сочтите за наглость - мне просто очень интересно, почему за почти три дня никто не ответил? Может потому, что я задаю дурацкие вопросы?

[svv]

Я не ответил потому, что я в этом не разбираюсь.

Зато...

(Оффтоп)

Я знаком с одним из Олдей (Д.Г.), и у меня есть книга с его автографом -- они ведь тоже из Харькова.

[JMH]

(Оффтоп)

Здорово! Их книги настолько хороши, насколько я вобще могу себе это представить.

[nnosipov]

JMH в сообщении #551003 писал(а):

неразложим в кольце многочленов $G[x_{11},\cdots,x_{nn}]$.

Кто такой $G$?

[JMH]

Поскольку кольцо, над которым, с помощью переменных $x_{11}\cdots x_{nn}$ строится кольцо многочленов, в задаче не указано, полагаю произвольное, т.е. $G$ - произвольное кольцо.