порядок касания кривых и каков его геометрический смысл?

[Ktina]

Объясните, пожалуйста, доходчиво, что такое порядок касания.
Может ли он быть бесконечным для двух несовпадающих кривых? Каков геометрический смысл порядка касания? Лично я на глаз не отличаю касание кривых $y=x^2$ и $y=0$ с одной стороны, и $y=x^4$ и $y=0$ - с другой, хотя порядок у них разный.

Заранее благодарна!

З. Ы.
И ещё, где вся эта канитель применяется?

[ИСН]

Обычно это объясняют на примере рельсов. Порядки выше второго, впрочем, не отличить ни глазом, ни на ощупь. Бесконечный порядок возможен, но вряд ли кому нужен.

[Ktina]

ИСН в сообщении #550830 писал(а):

Обычно это объясняют на примере рельсов.

А можно поподробнее?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #550821 писал(а):

Может ли он быть бесконечным для двух несовпадающих кривых?

Вот стандартный пример: $y=e^{-1/x^2}$ и $y=0$. Просто считаем количество совпадающих производных наших функций в данной точке касания.

[wallflower]

Если кривая в пространстве задана уравнением радиуса-вектора $ r=r(t)$, то в окрестности достаточно хороших точек $r$ можно разложить по формуле Тейлора

$$ r(t+h)= r(t)+h r'(t)+\frac{h^2}{2!} r''(t)+\ldots+\frac{h^n}{n!}R_n(t,h),$$

$R(t,h)$ -- остаточный член. Без остаточного члена эта кривая будет локальным полиномиальным аналогом $r$ и чем больше членов, тем бОльшим аналогом. Две кривые имеют порядок касания $k$, если первые $k$ членов в формуле Тейлора у них совпадают, а $k+1$-й член уже не совпадает. Касание 0-го порядка обеспечивает просто касание (общую точку), 1-го -- общую касательную, 2-го -- общую соприкасающуюся окружность и т. д.

Смысл канители в том, что локально мы можем кривые заменять на несколько членов ряда Тейлора. А с многочленами легче работать. Две кривые, имеющие достаточный порядок касания в точке $a$, мы в окрестности этой точки можем не различать.

[Padawan]

Ktina в сообщении #550821 писал(а):

И ещё, где вся эта канитель применяется?

Я лично применял эту канитель для вывода условий, при которых кривая, заданная кривизной и кручением, лежит на сфере. Вот в этой теме кривая на сфере.

[ИСН]

Про дороги - ну вот
topic41983.html

-- Ср, 2012-03-21, 20:03 --

там говорят про "скачок кривизны", а не "порядок касания", но суть та же.

[svv]

Пособие "Как определить порядок касания с помощью WolframAlpha (Maple, MathCAD, Mathematica, MATLAB, ...)".

Даны функции $f(x)$ и $g(x)$. Известно, что они касаются в точке $x=a$, но порядок касания неизвестен, и его надо найти.
Строим график функции $\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^n}$ ("микроскоп") в окрестности $x=a$ последовательно для значений $n=0,1,2,...$ ("порядок увеличения микроскопа"). Последнее значение $n$, при котором функция-микроскоп при $x=a$ равна нулю (вернее, стремится к нулю), и есть порядок касания.

Пример. Определить порядок касания кривых $f(x)=1-\frac{x^2}2$ и $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ в точке $x=0$.
Решение. Строим последовательно графики $\dfrac{1-\frac{x^2}2-\sqrt{1-x^2}}{x^n}$ для $n=0,1,2,...$ и смотрим, что происходит при $x=a=0$:

$n=0$. При $x=0$ -- глубокий нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^0 where x=-1 to 1

$n=1$. Глубокий нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^1 where x=-1 to 1

$n=2$. Нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^2 where x=-1 to 1

$n=3$. Нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^3 where x=-1 to 1

$n=4$. Какое-то конечное число.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^4 where x=-1 to 1

$n=5$. Бесконечность.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^5 where x=-1 to 1

Ответ: касание третьего порядка.