кривая на сфере

[Oleg Zubelevich]

Создаем коллекцию задач нерешаемых на этом формуме

Гладкая кривая в $\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной и кручением $k(s),\ae(s)$ где $s$ -- натуральный параметр.
Доказать, что данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда
$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$
для всех $s$.

[Padawan]

Винтовая линия (кривизна и кручение постоянны) лежит на сфере?

[Oleg Zubelevich]

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия Том 1 , раздел "Формулы Френе"

пока своими руками не сделаешь...

Гладкая кривая в $\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной и кручением $k(s),\ae(s)$ где $s$ -- натуральный параметр.

Теорема. Данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда верны следующие равенства:

$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s),\quad \Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\Big)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}\qquad (**)$$

для всех $s$.

Доказательство. Проверим необходимость этих равенств. Пусть $P(s)\vec v(s)\vec n(s)\vec b(s)$ -- репер Френе кривой, и пусть $F$ -- центр сферы.
По формулам Френе имеем:

$$FP=r_1\vec v+r_2\vec n+r_3 \vec b,\quad \vec v=FP'=(r_1'-kr_2)\vec v+(r_1k+r_2'-r_3\ae)\vec n+ (r_2\ae+r_3')\vec b.$$

Отсюда

$$r_1'=kr_2+1,\quad r_2'=r_3\ae-r_1k,\quad r_3'=-r_2\ae.\qquad (*)$$

Поскольку $\vec v$ перпендикулярен радиусу сферы,
$r_1=0$ и из первого уравнения системы: (*) $r_2=-1/k$; из второго уравнения системы (*) :
$r_3=k'/(\ae k^2).$ Тогда третье уравнение системы (*) дает вторую формулу формулу из (**).

Равенство $r_1^2+r_2^2+r_3^2=R^2$ дает первое уравнение системы (**).

Проверим достаточность равенств (**). Зададим точку $F$ так, чтоб вектор $FP$ имел в репере Френе координаты $(r_1,r_2,r_3)=(0,-1/k,k'/(\ae k^2))$ . Если мы убедимся, что точка $F$ не зависит от $s$ то все ok.
Пусть точка $O$ -- некоторая фиксированная точка пространства. Тогда $OP=OF+FP$ и $OP'=OF'+FP'$ но
$OP'=v$ -- по определению $v$; и $FP'=v$ -- по построению. Тогда $OF'=0$. ЧТД

[worm2]

(Оффтоп)

$\ae$ — это случайно не $\kappa$ имеется в виду?

[svv]

В конце концов Фоменко, видно, заметил это, и в книге "Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии" (Мищенко, Соловьев, Фоменко, 2004) задача дана уже в таком виде:
4.49. Доказать, что если $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ -- кривая, параметризованная натуральным параметром, $k\neq 0$, $\varkappa\neq 0$, то $\mathbf{r}(s)$ -- сферическая кривая тогда и только тогда, когда

$$\frac {\varkappa} k = \frac d {ds} \left( \frac {dk/ds}{\varkappa k^2} \right)\;.$$

[neo66]

Oleg Zubelevich в сообщении #514641 писал(а):

Теорема. Данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда верны следующие равенства:

$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s),\quad \Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\Big)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}\qquad (**)$$

для всех $s$.

Второе равенство является следствием первого.

[Oleg Zubelevich]

neo66 в сообщении #514766 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #514641 писал(а):

Теорема. Данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда верны следующие равенства:

$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s),\quad \Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\Big)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}\qquad (**)$$

для всех $s$.

Второе равенство является следствием первого.

Вы бы ветку почитали сперва, прежде чем чепуху говорить.

[neo66]

Oleg Zubelevich в сообщении #514776 писал(а):

Вы бы ветку почитали сперва, прежде чем чепуху говорить.

А, что, по-вашему чепуха? Если $k(s)$ и $\ae(s)$ таковы, что выполняется первое равенство, то выполняется и второе. Это неверно?

[Oleg Zubelevich]

Нет, не верно. Скучно мне Вам разжовывать, что из чего следует и как. Написано все, читайте

[neo66]

А мне не скучно, но некогда сейчас, позже напишу.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #514250 писал(а):

Создаем коллекцию задач нерешаемых на этом формуме

Гладкая кривая в $\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной и кручением $k(s),\ae(s)$ где $s$ -- натуральный параметр.
Доказать, что данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда
$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$
для всех $s$.

Я тоже посчитал, это правильное уравнение. Единственное, что нужно добавить -- при условии $k>\frac{1}{R}$. Если $k<\frac{1}{R}$, то кривая на сфере радиуса $R$ лежать не может (по формуле Менье). Если же $k=\frac{1}{R}$, то кривая будет лежать на сфере только если $\varkappa=0$ (получится экватор на сфере).

Я доказывал, видимо таким же способом, как и Вы:
Центр сферы радиуса $R$, которой касается кривая с точностью до второго порядка малости равен

$$\vec c=\vec r+\frac{1}{k}\vec\nu+\sqrt{R^2-\frac{1}{k^2}}\vec\beta$$

где $\vec r=\vec r(s)$ -- наша кривая, $\vec\tau,\vec\nu,\vec\beta$ -- репер Френе.
В уравнении $\frac{d\vec c}{ds}=0$ остаются только $\vec\nu$ и $\vec\beta$ ($\vec\tau$ сокращается). Приравнивая коэффициенты при $\vec\nu$ и $\vec\beta$ к нулю, получается два равносильных уравнения.

Условие $k>\frac{1}{R}$ необходимо из-за корня $\sqrt{R^2-\frac{1}{k^2}}$.

[Oleg Zubelevich]

$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$$

-- необходимое условие чтобы кривая лежала на сфере;

$$ \Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\Big)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}$$

-- необходимое и достаточное условие

(разумеется уже предположено, что $\ae,k\ne 0$)

-- Пн дек 12, 2011 18:20:30 --

Padawan в сообщении #514808 писал(а):

Я доказывал, видимо таким же способом, как и Вы:

я всетаки действовал несколько иначе. Формулы (*) весьма полезны в кинематике сами по себе (безотносительно сфер). Механикам они известны

[Padawan]

Первое -- необходимое и достаточное, чтобы лежала на сфере радиуса $R$, при условии что $k>\frac{1}{R}$. Второе -- необходимое и достаточное, чтобы лежала на какой-нибудь сфере.

[neo66]

Padawan в сообщении #514808 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #514250 писал(а):

Гладкая кривая в $\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной и кручением $k(s),\ae(s)$ где $s$ -- натуральный параметр.
Доказать, что данная кривая лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда когда для всех $s$
$$\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$ (*)

Я тоже посчитал, это правильное уравнение. Единственное, что нужно добавить -- при условии $k>\frac{1}{R}$

Не это условие. Если $k$ и $\ae$ удовлетворяют уравнению (*), то, очевидно, выполнено неравенство $k\ge \frac{1}{R}$. А скорее так: данная кривая, с $\ae(s)\neq0$, лежит на сфере радиуса $R$ тогда и только тогда, когда для всех $s$ выполнено (*).

-- Вт дек 13, 2011 00:34:44 --

Oleg Zubelevich в сообщении #514781 писал(а):

Нет, не верно. Скучно мне Вам разжовывать, что из чего следует и как. Написано все, читайте

Ну, что ж, если Вы не хотите разжевать мне, придется мне разжевать Вам.

Обозначим $A(s)=\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}$. Тогда равенство (*) запишется так: $A^2+1=R^2k^2$. Дифференцируя это равенство получим $2AA'=2R^2kk'$ или $A'=R^2\ae k^2$.

Дальше, $\Big(\frac{k'}{\ae k^2}\Big)'=\Big(\frac A k\Big)'= \frac {A'k-Ak'}{k^2}=\frac {R^2\ae k^3 -\frac {k'^2}{\ae k}}{k^2}=\frac \ae k \Big(R^2k^2-\frac {k'^2}{\ae^2 k^2}\Big) = \frac \ae k$, то есть, мы получили равенство $\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\Big)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}$, что и требовалось доказать.

[svv]

neo66 писал(а):

Второе равенство является следствием первого.

Увы, не всегда. Контрпример привёл Padawan -- это винтовая линия. Для нее $k'=0$. И мы можем взять $R=1/k$. В таком случае из равенств, которые привел Oleg Zubelevich:

$$\left(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\right)^2+1=R^2k^2(s),\quad \left(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\right)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}\qquad$$

первое выполняется, а второе нет.

Почему не сработало Ваше доказательство? Обратите внимание на этот момент:

neo66 писал(а):

Дифференцируя это равенство получим $2AA'=2R^2kk'$ или $A'=R^2\ae k^2$.

Если $k'=0$, то $A=\frac{k'}{\ae k}=0$, и тогда от $2AA'=2R^2kk'$ нельзя переходить к $A'=R^2\ae k^2$.

-- Вт дек 13, 2011 01:02:08 --

От первого ко второму равенству можно перейти ещё так. Предполагаем, что $k\neq 0$. Разделим первое равенство на $k^2$:
$\left(\frac{k'}{\varkappa k^2}\right)^2+\frac 1 {k^2}=R^2$
Продифференцируем:
$2 \left(\frac{k'}{\varkappa k^2}\right) \left(\frac{k'}{\varkappa k^2}\right)' - 2\frac {k'}{k^3}=0$, или
$k' \left(\frac{k'}{\varkappa k^2}\right)' = k' \frac {\varkappa}{k}$
Остается сократить на $k'$, но оно иногда предательски равно нулю.

P.S. Только я умею правильно писать каппу: $\varkappa$.