УШ из вариационного принципа

[r0ma]

В фенмановской стат. механике УШ выводится через лагранжиан. Я, если, честно, с лагранжианом дело имел мало, всегда с гамильтонианами, и не очень понимаю следующего.
Условие

$$\delta{\int{Ld^3rdt}}=0$$

. Это ясно. Я не понимаю, почему

$$L=L(\Psi,\Psi^*,\bigtriangledown\Psi, \bigtriangledown\Psi^*,\dot{\Psi},\dot{\Psi^*})$$

Объясните, пожалуйста, как можно подробнее, если можно, почему зависит от первых производных (хотя этот момент в принципе понятен), но не зависит от производных более высоких порядков (вот это не очен понятно). Могли бы изложить эти общие рассуждения, почему именно так зависит лагранжиан от пси? Как я понимаю, пси и пси сопряжённое считаются независимыми. А это вообще верно? Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то мне кажется всё равно, что пси, что пси сопряжённое... Поясните, пожалуйста.

[Munin]

У меня такое ощущение, что это связано с тем, что в классической механике лагранжиан зависит от обобщённых координат и их первых производных, но не выше. Это экспериментальный факт, и он воплощается в конкретных лагранжианах. А в квантах импульс превращается в оператор импульса, который первая производная теперь уже от $\Psi.$ И поскольку в классике координаты и импульсы (или производные координат) варьируются независимо, то и здесь $\Psi$ и $\nabla\Psi$ варьируются независимо.

[Padawan]

r0ma в сообщении #550518 писал(а):

Как я понимаю, пси и пси сопряжённое считаются независимыми. А это вообще верно?

$\Psi$ -- комплексная функция, поэтому можно записать $L=L(\operatorname{Re}\Psi,\operatorname{Im}\Psi)$, а можно сделать линейную замену, $\operatorname{Re}\Psi=\frac{\Psi+\Psi^*}{2}$, $\operatorname{Im}\Psi=\frac{\Psi-\Psi^*}{2i}$ и записать $$L=L(\Psi,\Psi^*)$. Так, видимо, удобнее.

[espe]

r0ma в сообщении #550518 писал(а):

Объясните, пожалуйста, как можно подробнее, если можно, почему зависит от первых производных (хотя этот момент в принципе понятен), но не зависит от производных более высоких порядков (вот это не очен понятно). Могли бы изложить эти общие рассуждения, почему именно так зависит лагранжиан от пси?

В механике второй закон Ньютона имеет вид $m\ddot{x}=F(x,\dot{x})$. "Это экспериментальный факт" (Munin). То есть уравнение движения --- это ДУ второго порядка. Чтобы из лагранжиана получались ДУ (не выше) второго порядка лагранжиан должен зависеть только от $\dot{x}$ (с точностью до интегрирования по частям). Аналогично и не в механике. В принципе никто не запрещает рассматривать (и уже изучались) и теории с высшими производными.

r0ma в сообщении #550518 писал(а):

Как я понимаю, пси и пси сопряжённое считаются независимыми. А это вообще верно?

.
Как уже писал Padawan, можно считать независимыми действительную и мнимую части, а можно саму функцию и её комплексно сопряжённую. Это вопрос удобства.

[r0ma]

Спасибо за объяснения. В целом я всё понял!

espe в сообщении #550751 писал(а):

это ДУ второго порядка

Насколько я помню вроде есть сила радиационного торможения, которая зависит от третьей производной по координате (само уравнение у меня в голове хорошо забыто). Или это уж совсем частный случай?

[espe]

Если хотите получить в уравнении движения слагаемые с третьей производной $\dddot{x}$, то в лагранжиан надо будет включать высшие производные, например $\ddot{x}\dot{x}$ (в сумме три производных). И так далее. Если уравнение движения есть ДУ $n$-го порядка, то в лагранжиане должны присутствовать слагаемые, в которых (в сумме на все координаты или поля) будет $n$ производных.

[r0ma]

Ясно. Спасибо.