Доказать, что у всех кошек глаза одного цвета (индукция...)

[clondike]

Помогите разобраться, пожайлуста.

Цитата:

Докажем, что у всех кошек глаза одного цвета. Для этого достаточно доказать, что для любого n справедливо следующее утверждение An:
'' В любом множестве кошек, состоящем из n
элементов, глаза у кошек одного цвета''.
Докажем методом математической индукции. A1 верно (спору нет). Если Ak верно, то и Ak + 1 верно. Действительно, рассмотрим любую k + 1 кошку. Занумеруем их. Так как Ak предполагаем верным, то кошки с номерами 1, ..., k имеют глаза одного цвета, и кошки с номерами 2, ..., k + 1 имеют глаза одного цвета. Следовательно, кошки с номерами 1, ..., k, k + 1 имеют глаза одного цвета, и Ak + 1 оказывается верным. По принципу математической индукции An верно для любого натурального n. Где ошибка?

[PAV]

Ошибочен первый шаг индукции. Два множества, состоящие из одного элемента, не пересекаются, поэтому в одном глаза у кошек одного цвета и в другом тоже, но в их объединении - нет.

Если доказано для двух, то действительно верно для любого $n$.

[bot]

Другая интерпретация: Все лошади белые.
Лемма 1 - как выше. Доказывается по индукции.
Лемма 2. Существует белая лошадь.
Док-во. Александр Македонский ездил на белой лошади.

[clondike]

PAV писал(а):

Ошибочен первый шаг индукции. Два множества, состоящие из одного элемента, не пересекаются, поэтому в одном глаза у кошек одного цвета и в другом тоже, но в их объединении - нет.

Если доказано для двух, то действительно верно для любого $n$.

Спасибо. А мне почему-то казалось, что ошибка либо на втором либо на третьем шаге.

[Yntz]

bot писал(а):

...
Док-во. Александр Македонский ездил на белой лошади.

Александр Македонский ездил на боевом коне Буцефале, цвет которого достоверно не известен (по некоторым источникам, черный или гнедой), поэтому доказательство в общем случае не верно.

http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=br ... %26isu%3D2

[bot]

Надо кошек в условии заменить на котов, а цвет глаз на цвет шерсти. Тогда доказательство леммы не будет вызывать сомнений: Жил да был чёрный кот за углом.
А про Македонского слышал ещё до леммы существования чёрного кота.

[Capella]

Ваше обсуждение напомнило мне один анекдот.

Едут в одном поезде по Англии социолог, инженер, физик-эксперементатор, математик и физик-теоретик. Социолог смотрит в окно и говорит: "Смотрите, как интересно, чёрная овечка!"
На это инженер: "В Англии все овечки чёрные"
На это физик-эксперементатор: "Это не верное утвеждение, мы можем лишь говорить, что в Англии есть по меньшей мере одна чёрная овечка"
На это математик: "Это не верно, можно утверждать, что в Англии есть одна овечка, с одной стороны имеющая чёрную шерсть"
На это физик-теоретик: "Это не правильно, мы можем лишь утверждать, что в Англии есть одна овечка, которая на данном расстоянии и при данных оптических условиях кажется чёрной".
Социологу это всё надоедает, он дёргает стоп-кран и все пятеро идут смотреть овцу. Пот этом они устанавливают, что животное действительно с одного бока имеет белую шерсть, а с другого чёрную, но с белыми вкраплениями, которые было невозможно увидеть на большом расстоянии. Всё это дело наблюдает местный фермер, которому очень не нравиться, что столько народу топчет его поле.
Социолог обращается к фермеру и говорит: "какии у вас тут интересные овцы..." На что фермер очень ехидно парирует: "Вообще-то это животное называется коза"