В ТФКП это называется
Шо, опять? ©

принцип симметрии Шварца
Спасибо. Вы, наверное, имеете в виду просто принцип Шварца?
Конкретно относительно уравнений Гельмгольца не встречал, а для эллиптических операторов

с гладкими коэффициентами это несложно должно доказываться.
А можете подсказать книжку, у меня не получилось найти ничего.
Но
нашлись рассуждения, обходящиеся обычным анализом (формулами Грина для ур-я Г., они описаны в учебнике СБК). Достаточно показать, что продолжение

"внутри" некоторой поверхности

удовлетворяет интегральному тождеству Грина (

- фундаментальное решение):

Тогда, в силу свойств потенциалов (

можно считать и кусочно-гладкой), правая функция
во внутренних точках
удовлетворяет ур-ю Г., и этого можно будет ожидать и от левой.
Чтобы это показать, нужно рассмотреть эквивалентное (в силу аддитивности и изменения знака нормали) утверждение:

Если предположить, что поверхности

достаточно гладкие, чтобы можно было воспользоваться третьей формулой Грина:

утверждение становится очевидным. Но если с пальцами все понятно, то с строгой формулировкой нужно помучаться в условиях на третью формулу Грина (условия на поверхность и на функциональное пространство). И естественный вопрос: как могут быть связаны тот сайт, Соболев и советская журнальная беллетристика?
