Векторные поля на торе

[scwec]

Пусть на двумерном торе заданы два коммутирующих гладких векторных поля $X_1,X_2$, линейно независимых в каждой точке тора.
Выберем на торе произвольным образом две различных точки.
Докажите, что можно выбрать вещественные числа $c_1,c_2$ так, чтобы интегральная кривая поля $c_1X_1+c_2X_2$ , проходила через выбранные точки.
Что изменится, если не предполагать коммутативности полей?

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #550030 писал(а):

Пусть на двумерном торе заданы два коммутирующих гладких векторных поля $X_1,X_2$, линейно независимых в каждой точке тора.
Выберем на торе произвольным образом две различных точки.
Докажите, что можно выбрать вещественные числа $c_1,c_2$ так, чтобы интегральная кривая поля $c_1X_1+c_2X_2$ , проходила через выбранные точки.

но ведь мы можем перейти на накрывающую плоскость и на ней ввести координаты такие, что $X_i=\partial _i$. И тогда все очевидно. Разве нет?

[scwec]

Конечно, да. Остается рассмотреть некоммутативность.

[Oleg Zubelevich]

если расстояние между точками маленькое, то константы $c_i$ подобрать нужным образом можно и без коммутативности

[g______d]

Ну вот есть такая идея (проводить вычисления прямо сейчас лень). Пусть есть кривая $x(t)$. Несложно выразить $c_1(t)$ и $c_2(t)$, такие что $\dot{x}(t)=c_1(t)X_1+c_2(t)X_2$, через производные $x(t)$. Потом написать систему из двух уравнений 2-го порядка $\dot{c}_1(t)=\dot{c}_2(t)=0$. Мне кажется, что она будет уравнением геодезической для некоторой связности (символы Кристоффеля которой выражаются через коэффициенты $X_1$ и $X_2$, а также их производные). Если удастся доказать, что эта связность порождается некоторой метрикой, то дальше будет работать вариационный принцип.

-- 19.03.2012, 21:17 --

Причем (фантазирую), метрика может выглядеть как-то просто, например, давайте считать, что в каждой точке ортонормированным базисом будет $X_1,X_2$.

[bayak]

g______d писал(а):

Пусть есть кривая $x(t)$. Несложно выразить $c_1(t)$ и $c_2(t)$, такие что $\dot{x}(t)=c_1(t)X_1+c_2(t)X_2$, через производные $x(t)$.

Но по условию задачи коэффициенты не зависят от точки на кривой.

[g______d]

Мы рассматриваем произвольную кривую, а потом пишем уравнение на то, что коэффициенты постоянны.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #550092 писал(а):

Ну вот есть такая идея (проводить вычисления прямо сейчас лень). Пусть есть кривая $x(t)$. Несложно выразить $c_1(t)$ и $c_2(t)$, такие что $\dot{x}(t)=c_1(t)X_1+c_2(t)X_2$, через производные $x(t)$. Потом написать систему из двух уравнений 2-го порядка $\dot{c}_1(t)=\dot{c}_2(t)=0$. Мне кажется, что она будет уравнением геодезической для некоторой связности (символы Кристоффеля которой выражаются через коэффициенты $X_1$ и $X_2$, а также их производные). Если удастся доказать, что эта связность порождается некоторой метрикой, то дальше будет работать вариационный принцип.

-- 19.03.2012, 21:17 --

Причем (фантазирую), метрика может выглядеть как-то просто, например, давайте считать, что в каждой точке ортонормированным базисом будет $X_1,X_2$.

если я правильно понял, Вы предлагаете следующее (а может это я Вам свою мысль приписываю). Выразим константы $c_i$ из уравнения $\dot x=c_1 X_1+c_2X_2$ и подставим в уравнение
$\ddot x=c_1\frac{\partial X_1}{\partial x}\dot x+c_2\frac{\partial X_2}{\partial x}\dot x$
получится $\ddot x=$квадратичная форма от $\dot x$. Вы хотите сказать, что это будут уравнения Лагранжа?

[g______d]

Ну это не в точности то, что я делаю, но в обоих случаях получается уравнение второго порядка, которое решается однозначно, если мы знаем начальные координату и скорость. И множество его решений --- это и есть множество интегральных кривых, подчиняющихся изначальному условию.

Если я правильно помню и википедия меня не обманывает, то уравнение вида $\ddot{x}=Q(\dot{x})$, где $Q$ --- векторнозначная квадратичная форма, --- это уравнение геодезической для связности, символами Кристоффеля которой являются коэффициенты формы $Q$. Слово "векторнозначная" в данном случае подразумевает наличие дополнительного индекса и не несет инвариантного смысла по той же причине, по которой символы Кристоффеля не являются тензором.

Про то, что метрика как-то просто выражается через $X_1$ и $X_2$, я загнул --- в частности, мой пример в последнем абзаце предыдущего поста не подходит: если есть фиксированная метрика, то выбрать пару ортонормированных векторных полей можно многими способами, и у них будут разные интегральные кривые, а геодезические определяются только метрикой.

[scwec]

В соседнем топике (Движение в центральном непотенциальном поле) мною разобран пример, когда интегральные кривые линейных комбинаций векторных полей являются геодезическими.
Понятно, что в нашем случае для произвольных полей это не получается. Надо накладывать некоторые тяжелые условия. Не хочу повторяться, поэтому давайте предположим, что для $X_1,X_2$ существуют и известны первые интегралы. Это, наверное, облегчит задачу.

[g______d]

Даже ситуация в том топике мне бы не помогла, поскольку я не знаю, как доказывать существование геодезических для псевдоримановых метрик (и подозреваю, что это верно в меньшем числе случаев, чем для римановых). Видимо, изначально предполагались рассуждения в другом направлении.

-- 20.03.2012, 18:10 --

scwec в сообщении #550354 писал(а):

Понятно, что в нашем случае для произвольных полей это не получается. Надо накладывать некоторые тяжелые условия.

Это можно как-то понятно объяснить?

[scwec]

Введем на торе две дуальные 1-формы $\omega^1,\omega^2$, $\omega^i(X_j)={\delta_j}^i$, $i,j=1,2$.
Предположим, что существует положительно определенная форма $\Omega=a_{ij}\omega^i{\omega^j}$, $a_{ij}=\operatorname{const}$, такая, что производные Ли $L_{X_1}(\Omega)=L_{X_2}(\Omega)=0$.
(Это и есть те тяжелые условия). Тогда все геодезические римановой метрики $\Omega$ совпадают с интегральными кривыми линейных комбинаций с потоянными коэффициентами полей $X_1,X_2$. Поскольку тор компактен и условия полноты выполняются, то по теореме Хопфа-Ринова любые две точки соединяются геодезической (интегральной кривой).
Доказательство совпадения геодезических и интегральных кривых практически такое же, что в соседнем топике. Только вот для псевдоримановых метрик две точки не всегда соединяются геодезической, несмотря на геодезическую полноту.(Это уже не про тор).
Наверное, существуют другие условия и другие подходы. Можно поискать пример, когда две точки нельзя соединить интегральной кривой.
Окончательный ответ мне не известен.

[Oleg Zubelevich]

а если от тех уравнений второго порядка потребовать что бы они были уравнениями геодезических некоторой римановой метрики? Интересно это требование можно будет расписать в инвариантных терминах на поля $X_i$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #550435 писал(а):

а если от тех уравнений второго порядка потребовать что бы они были уравнениями геодезических некоторой римановой метрики? Интересно это требование можно будет расписать в инвариантных терминах на поля $X_i$

Я примерно про это и спрашивал. Они всегда будут уравнениями геодезических для некоторой связности. Вопрос в том, является ли эта связность связностью Леви-Чивиты для некоторой метрики или нет? Это вопрос вычислений, которые мне и было лень проводить.

[Oleg Zubelevich]

Кстати, вопрос о том порождается ли связность метрикой или нет это вопрос про интегрируемость некоторой системы Майера-Фробениуса т.е. он до конца решается заведомо в терминах тензора кривизны, я это как-то вычислял чейчас уже не помню деталей