Т. Хеллингера-Теплица

[vlad_light]

Нужно доказать теорему Хеллингера-Теплица через теорему о равномерной ограниченности.

(Оффтоп)

Т. Хеллингера-Теплица. Пусть $H$ - гильбертово пространство, $A:H\to H$ симметрический оператор, определённый на всём $H$. Тогда $A$ ограничен.

(Оффтоп)

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle

Насколько я понял, мне нужно доказать, что для всякого $x\in H:\|Ax\|<+\infty$. Тогда $x\in H:\|Ax\|^2=(Ax,Ax)=(A^*Ax,x)=(A^2x,x)\leq \|A^2x\|\|x\|$. Пока всё что я придумал... ПОдскажите, как использовать то, что оператор определён на всём $H$. Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

примените теорему о равномерной ограниченности к линейным функционалам $f_\xi(x)=(\xi,Ax),\quad \|\xi\|\le 1$

[vlad_light]

Можно, пожалуйста, поподробнее. Нам нужно доказать, что $|f_\xi (x)|\leq c\|x\|$ при каждом фиксированом $\xi$. Кроме оценки, $|f_\xi (x)|\leq \|A\|\|\xi\|\|x\|$ пока ничего не придумал. Через непрерывность тоже не получается.

[ewert]

Это -- следствие теоремы о замкнутом графике: замкнутый оператор, определённый на всём пространстве, ограничен.

Подводка такая: симметричен $\Rightarrow$ сопряжённый определён ещё шире (во всяком случае, не более узко) $\Rightarrow$ существует второй сопряжённый, являющийся расширением исходного $\Rightarrow$ исходный допускает замыкание $\Rightarrow$ он просто замкнут, раз уж определён всюду $\Rightarrow$ он ограничен.

[Oleg Zubelevich]

Вообще-то можно доказать такое утверждение.

Утв. Пусть оператор $A:X\to Y$ определен на банаховом пространстве $X$ и действует в нормированное пространство $Y$. Предположим, определен сопряженнй оператор $A':Y'\to X'$. Тогда оператор $A$ ограничен.

Действительно, функционалы $f_\xi(x)= (\xi,Ax),\quad \xi\in Y',\|\xi\|\le 1$ непрерывны и при каждом фиксированном $x\in X$ имеем $|f_\xi(x)|\le \|Ax\|$.
Применяя к этим функционалам принцип равномерной ограниченности найдем $|(\xi,Ax)|\le c\|x\|\|\xi\|$.

Следовательно, множество $\{Ax\mid \|x\|\le 1\}$ слабо ограничено в $Y$, значит оно сильно ограничено в $Y$. ЧТД

[vlad_light]

Проблема в том, что мне нельзя ссылаться на теорему о замкнутом графике. Вместо неё нужно использовать принцип равномерной ограниченности.
Теперь по поводу утверждения.
1. $|f_\xi (x)|=|(\xi ,Ax)|\leq \|\xi\|\|Ax\|\leq\|Ax\|$. Почему функционалы будут непрерывны? Это доказывается по определению?
2. $|(\xi ,Ax)\leq c\|x\|\|\xi\|$ - здесь $c=\|A\|$?

[Oleg Zubelevich]

vlad_light в сообщении #550555 писал(а):

Почему функционалы будут непрерывны?

потому, что оператор $A'$ определен