Эффект Ранка

[anik]

Нужно заметить, что задачи на эффект Ранка имеют большую практическую ценность. Решение этих задач позволило бы рассчитывать множество полезных устройств.
Сначала рассмотрим движение жидкости в цилиндре с высотой равной единице, наружным радиусом $R$ и с центральным отверстием радиусом $r$. Саму жидкость с плотностью $\rho$ будем считать идеальной, т.е. несжимаемой, не обладающей внутренним трением. Жидкость под давлением поступает через патрубок, расположенный по касательной к боковой поверхности цилиндра (наподобие улитки). Таким образом, поступающая в цилиндр жидкость, закручивается. Вращающаяся жидкость оказывает давление на внешнюю боковую поверхность цилиндра, поэтому необходимо создавать давление, чтобы проталкивать вращающуюся жидкость к центру цилиндра к выпускному отверстию.
Силы давления действуют на вращающуюся жидкость в радиальном направлении к центру (оси цилиндра). Эти силы центральные, они не могут создавать вращающий момент, закручивающий цилиндрические слои жидкости, поэтому каждый элементарный цилиндрический слой жидкости, имеющий один и тот же элементарный объём $dV$, имеет один и тот же момент количества движения (момент импульса или кинетический момент). Единственной силой, создающей вращающий момент, является сила, действующая на порции жидкости, поступающие через подающий патрубок. Сила давления поступающей через патрубок жидкости направлена нормально к наружному радиусу, она и создаёт вращающий момент.
Теперь, нам предстоит разбить внутренний объём цилиндра на кольцевые элементы одинакового объёма. Очевидно, что если мы разобьём круг на кольца одинаковой толщины $dr$, то объёмы таких колец будут уменьшаться при приближении к центру. Проще рассчитать, когда толщины колец одинаковы. Чтобы объёмы колец с одинаковой толщиной не уменьшались, можно соответственно увеличивать высоту колец, тогда боковые поверхности (уже не цилиндра, а тела вращения) будут представлять собой конусы с углом при вершине 45 градусов. У этих конусов вершины обрезаны так, что на вершинах есть отверстия диаметром $r$. Эти конусы совмещены основаниями с радиусом $R$.
Если пренебречь величиной $dr^2$ для тонкого кольца с толщиной $dr$, то площадь кольца найдётся по формуле: $dS=2\pi Rdr$. Если радиус кольца уменьшить в два раза, то длина его окружности уменьшится в два раза, но зато в два раза увеличится его высота, за счет конусов. Таким образом, объёмы колец с одинаковой толщиной не будут зависеть от их радиусов.
Теперь мы можем сказать, что каждое элементарное кольцо с толщиной $dr$, независимо от его радиуса, имеет один и тот же момент количества движения, и мы будем иметь для этих колец такие же соотношения угловых скоростей и энергий, как и для двух шаров, связанных нитью с изменяющейся длиной. Это задача, которую мы рассмотрели раньше.

[anik]

Прошу прощения, ошибка! нужно только одну боковую поверхность сделать конической, с углом при вершине 90 градусов.

(Оффтоп)

Я всё куда-то тороплюсь.

[anik]

Прежде чем разбираться с эффектом Ранка, нужно осмыслить некоторые понятия термодинамики.
Предположим, что температура воздуха в атмосфере равна 20 градусов, в безветренную погоду. Но вот подул сильный ветер со скоростью 30м/с. К «тепловой» скорости молекул воздуха мы должны добавить скорость движения ветра. Можем ли мы сказать, что температура воздуха при этом возросла? Нет. Скорость упорядоченного движения частиц газа связана с механической энергией газа, а не с тепловой.
Как же нам разделить скорость частицы газа на тепловую и механическую составляющие?
Выделим в газе некоторый объём и рассмотрим скорости частиц газа в этом объёме в момент времени $t$. Сложим векторно импульсы частиц газа, находящихся в этом объёме. Если данная векторная сумма равна нулю, то это означает, что упорядоченного движения этих частиц в данном объёме нет. В этом случае среднее значение модулей скоростей частиц газа связано с «тепловой» скоростью, т.е. с температурой газа. Если же векторная сумма импульсов частиц не равна нулю, то это свидетельствует о наличии струи газа, т.е. его механической энергии упорядоченного движения. В этом случае суммарный импульс мы должны разделить на массу всех частиц в рассматриваемом объёме, чтобы получить среднюю скорость упорядоченного движения частиц газа. Назовём эту среднюю скорость механической составляющей скорости частицы. Тогда, для нахождения «тепловой» составляющей скорости частицы газа мы должны отнять от модуля скорости частицы, механическую составляющую скорости.
Таким образом, внутренняя энергия частицы газа складывается в общем случае из тепловой и механической составляющих её энергии.
Тот факт, что в любом выделенном объёме газа векторная сумма импульсов частиц равна нулю, можно принять за критерий термодинамического равновесия газа.

[Ilia_]

anik в сообщении #549911 писал(а):

Если же векторная сумма импульсов частиц не равна нулю, то это свидетельствует о наличии струи газа, т.е. его механической энергии упорядоченного движения. В этом случае суммарный импульс мы должны разделить на массу всех частиц в рассматриваемом объёме, чтобы получить среднюю скорость упорядоченного движения частиц газа. Назовём эту среднюю скорость механической составляющей скорости частицы. Тогда, для нахождения «тепловой» составляющей скорости частицы газа мы должны отнять от модуля скорости частицы, механическую составляющую скорости.

Можно рассуждать проще: сесть в СО, где выделенный физически малый объем газа покоится.

Цитата:

Тот факт, что в любом выделенном объёме газа векторная сумма импульсов частиц равна нулю, можно принять за критерий термодинамического равновесия газа.

Разве? Это критерий отсутствия потока вещества, а не термодинамического равновесия. Например, газ с функцией распределения $f=\frac{n}{(2\pi mkT)^{3/2}}\exp\left(\frac{(\vec p - \vec p_0)^2}{2mkT}\right)$ термодинамически равновесный. А в нём поток есть. Можно придумать пример системы с немаксвелловской ф.р., но без потоков. И она равновесной не будет.

[romka_pomka]

Ilia_ в сообщении #550046 писал(а):

Например, газ с функцией распределения $f=\frac{n}{(2\pi mkT)^{3/2}}\exp\left(\frac{(\vec p - \vec p_0)^2}{2mkT}\right)$ термодинамически равновесный. А в нём поток есть.

Поток равновесия?

[anik]

Ilia_ в сообщении #550046 писал(а):

Можно рассуждать проще: сесть в СО, где выделенный физически малый объем газа покоится.

СО должна быть связана с корпусом сосуда в котором содержится газ, в данном случае с корпусом вихревой трубы в которой есть потоки.

-- Вт мар 20, 2012 00:10:32 --

Зададимся вопросом: а почему газ при сжатии нагревается? Здесь возможны два механизма сжатия газа.
Предположим, что газ сжимается в цилиндре поршнем. В этом случае, движущиеся частицы газа отражаются от поверхности поршня, которая движется навстречу векторам скоростей (и импульсов) частиц. Отражаясь от движущейся навстречу стенки, частица приобретает дополнительную тепловую скорость, и температура газа повышается. Если поршень движется в противоположном направлении, то газ расширяется, а его частицы взаимодействуют с «удаляющейся» стенкой, поэтому их скорости уменьшаются и газ охлаждается.
Теперь, предположим что в сосуд с газом, принудительно вдувается струя газа, с такой же температурой, как в сосуде. Внутренняя энергия вдуваемой струи выше, чем внутренняя энергия газа в сосуде потому, что вдуваемая струя кроме тепловой энергии, такой же, как в сосуде, обладает ещё механической энергией, связанной со скоростью движения струи. Так же как и в случае встречного движения поршня, теперь встречно по отношению к частицам газа в сосуде, движутся частицы вдуваемой струи. Упорядоченное движение струи внутри сосуда, в результате столкновения частиц между собой и с частицами стенки теряет со временем упорядоченность. При этом механическая составляющая энергии частиц струи переходит в тепловую энергию, и газ нагревается. Когда газ истекает из сосуда, то процесс происходит в обратном направлении, температура истекающей струи ниже, чем температура сжатого в сосуде газа.
Мне приходилось летом наблюдать как сжатый газ, истекая из трубы в атмосферу, охлаждался. Несмотря на жару, конец трубы был покрыт льдом, а поблизости с концом трубы наблюдался иней. Эта труба выходила с территории молочного завода. Я так и не понял, для чего газ нужно было сжимать, чтобы потом выпускать его в атмосферу.

[Ilia_]

romka_pomka в сообщении #550055 писал(а):

Поток равновесия?

Поток частиц.

to anik:
Слов много. Напишите уравнения газодинамики (Навье-Стокс, уравнение состояния, уравнение непрерывности), и вопросы вроде "почему газ нагревается при сжатии" или "как зависит температура от скорости потока" станут куда более предметными.

[romka_pomka]

Ilia_ в сообщении #550170 писал(а):

Поток частиц.

Как бы Вы определили "термодинамическое равновесие"?

[anik]

Ilia_ в сообщении #550170 писал(а):

Слов много. Напишите уравнения газодинамики (Навье-Стокс, уравнение состояния, уравнение непрерывности), и вопросы вроде "почему газ нагревается при сжатии" или "как зависит температура от скорости потока" станут куда более предметными.

Parkhomuk в сообщении #548458 писал(а):

Так я эту трубу замоделил в SolidWorks'е и решил посчитать с помощью Flo (его разработчики говорят, что он решает Навье-Стокса). Так вот результат: разность температур между перефирийным и центральным потоками -6К. Получается, что даже качественно неверно.

Это к вопросу: как зависит температура от скорости потока, если исходить из уравнений Навье-Стокса.

[anik]

Хотелось бы качественно разобраться с процессами, происходящими в циклоне. Частицы газа движутся к центру по траекториям, которые закручиваются в спирали. Скорости частиц возрастают, поэтому, поперечное сечение мысленно выделенных трубок или каналов, по которым движется газ, должно уменьшаться, чтобы обеспечить неразрывность струи. Для несжимаемой жидкости, произведение скорости потока на площадь сечения трубки должно оставаться постоянным. Для газа это соотношение несколько нарушается, т.к. газ, при его движении к центру циклона, расширяется, при этом убывает его плотность. Расширение газа приводит к дополнительному возрастанию скорости потока, по сравнению с движением несжимаемой жидкости в циклоне.
Вблизи центра в торнадо воздух движется со сверхзвуковыми скоростями. Об этом говорят многие факты. Например, приводилась фотография, на которой сосновая щепка проткнула насквозь ствол дерева и застряла в нём. Такое возможно только при сверхзвуковых скоростях. Делались съёмки торнадо изнутри. «Глаз» торнадо представляет собой коническую трубу, расширяющуюся кверху, через которую видно голубое безоблачное небо. Стенки этой трубы имеют зеркальный блеск, что говорит о наличии скачка уплотнений, т.е. опять таки о движении со сверхзвуковой скоростью. Говорят, что курица, попавшая в торнадо, осталась живой, но оказалась полностью ощипанной. В результате огромной скорости вращения внутренних стенок торнадо, внутри образовывается высокая степень разряжения. Торнадо засасывает водоёмы вместе с рыбой, затем, эта рыба выпадает в виде осадков.

[anik]

Движение частиц газа по спирали в цилиндрическом сосуде можно рассмотреть как движение в трубке тока с прямоугольным сечением с убывающей толщиной. Эта трубка тока завёрнута в рулон, т.е. представляет собой спираль с убывающим к центру шагом спирали. Эту трубку можно мысленно развернуть и выпрямить. Если бы сделать такую сужающуюся к концу трубку с прямоугольным сечением и проталкивать через неё газ, то при больших скоростях потока в конце такой трубки, этот газ сильно тормозился бы о неподвижные стенки трубки. В конце трубки движение газа было бы турбулентным. Совсем другое дело происходит, когда эта трубка «свёрнута в рулон». Здесь градиент скоростей во много раз меньше, т.к. скорость соседних граничных слоёв газа не на много отличается от скорости в трубке, (не то, что с неподвижной стенкой, скорость которой равна нулю). Таким образом, несмотря на высокие линейные скорости движения потока, вблизи центра, движение самого потока может быть ламинарным.
Можно, всё-таки для простоты, рассмотреть движение газа по сужающейся трубке, но пренебречь сопротивлением такой трубки движению газа.
Вот теперь можно сравнить между собой два процесса: расширение сжатого газа в вакуум через отверстие в перегородке (опыт Гей-Люссака и Джоуля), и расширение сжатого газа, движущегося по сужающейся трубке.

[anik]

Представим себе сдвоенный сосуд с перегородкой, с одной стороны которой находится сжатый газ, а с другой – вакуум. Сосуд находится в состоянии термодинамического равновесия с газом, т.е. температуры газа и сосуда равны. Что произойдёт, если убрать часть перегородки? Частицы газа, которые раньше отражались от неподвижной стенки, теперь беспрепятственно разлетаются через образовавшееся отверстие в вакуум. Скорости этих частиц по модулю не изменяются, следовательно, не изменяется кинетическая энергия этих частиц. Через некоторое время, когда давления и концентрации частиц в сосудах выровняются, газ придёт в состояние термодинамического равновесия, но внутренняя энергия его не изменится. Газ при расширении не совершал работы. (Незначительная часть энергии потеряется, если учесть реактивное действие струи газа на сосуд, за время, пока частицы газа долетали до противоположной стенки сосуда, где был вакуум.)
Существенно ли здесь то, что газ при расширении не совершал работы? Смотря какой работы: если работы над внешней средой, то существенно. Если же работа сжатого газа совершалась внутри оболочки, ограничивающей эти два сосуда, то эта работа не приведёт к изменению внутренней энергии системы, т.к. она изолирована.
Здесь предполагается отсутствие теплообмена с внешней средой, и что внутри этой системы нет химических реакций и источников тепла. Какие бы трубки, турбинки с преобразованием тепловой энергии в механическую мы не мудрили, внутренняя энергия системы останется неизменной, т.к. она изолирована. Это при условии, что вращение, например, несбалансированной турбины не приведёт к вибрациям, механическая энергия которых через корпус передастся во внешнюю среду, или возникнут звуковые колебания, тогда часть энергии будет уноситься излучением звука во внешнюю среду.

[romka_pomka]

Parkhomuk в сообщении #548458 писал(а):

Был бы признателен если кто-нить тоже посчитает численно, например в ANSYS'е

Parkhomuk в сообщении #548482 писал(а):

Исполнение трубы: противоточное, диаметр трубы 80 мм, длина 230 мм, ширина кольцевого зазора 4 мм (расположен на противоположном торце трубы от нагнетательного патрубка), диаметр отверстия диафрагмы 20 мм, нагнетательный патрубок входит тангенциально и имеет прямоугольное сечение 30х9 мм.
Вдувается азот под давлением 10 атм., истекает на атмосферу. Шероховатость трубы не помню.

-- 15.03.2012, 11:47 --

Ой, диаметр отв. диафрагмы не 20 мм, а 40мм

Прошу извинить за задержку (осваивался с ANSYS) и за отсутствие результата: очень огорчило решение пробной задачи, не имеющей отношения к эффекту Ранка. Но после этого решения трудно доверять пакету ANSYS (или может надо как-то разбираться глубже). Продемонстрирую: задача 2D, нестационарная, слева давление 5 атмосфер, справа 1 атмосфера, поток ламинарный, воздух.

распределение модуля скорости постоянно в любой момент времени:


(сетка)
То есть ANSYS говорит, что справа будет стабильный вихрь, против часовой стрелки. Я не против вихрей, но мне больше нравятся вихри по часовой стрелке . В общем, трудно в это поверить (наверное, я что-то делаю не так, пакет-то ведь коммерческий - качественный должен быть). Эффект Ранка он пожалуй рассчитает еще "красивее".

[Утундрий]

romka_pomka
Удлините правую часть расчетной области раз эдак в четыре-пять. Должно помочь.

[romka_pomka]

Утундрий в сообщении #553105 писал(а):

Удлините правую часть расчетной области раз эдак в четыре-пять. Должно помочь.

Разные варианты пробовались. Не помогает. Что-нибудь придумаем, надо же разъяснить этот эффект Ранка. Что за загадки, в самом деле?!