Статистические характеристики корней многочлена

[Anatoly]

Здравствуйте!
Возможно данный вопрос уже встречался в форуме, но я ответ на него так и нашел.
Интересует следующее.
Пусть задан полином
P_n(x) = $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$.
Действительные коэффициенты $a_k$ обладают известными статистическими характеристиками.
Можно ли оценить статистические характеристики корней данного полинома, в частности дисперсию?
Особенно интересует случай $n=3$. С одной стороны, можно конечно воспользоваться формулой Кардано, но уж как-то громоздко получается.

[worm2]

Думаю, тут слишком сложно получить что-либо лучше, чем моделирование по Монте-Карло.

[spctr]

Насколько мне известно - метод Монте-Карло действительно является наилучшим в данном случае.
Если коэффициенты - случайные величины с плотностью распределения, ненулевой на конечном интервале, то, используя методы интервальной арифметики, можно оценить область расположения корней. Правда, большинство критериев позволяет определить только, лежат ли корни левее некоторой прямой или в некотором угловом секторе. Я не большой специалист в этом вопросе, но про определение статистических характеристик ничего не слышал.

[Евгений Машеров]

Я даже не уверен, что статистические характеристики обязательно будут существовать. Вот, скажем, простенькое уравнение $a x^2=1, a~N(0,1)$ - дисперсии явно не будет. Как и матожидания.

[Anatoly]

Про метод Монте-Карло понятно. Однако, коэффициенты оцениваются в процессе измерения. Прогнозировать можно только их дисперсию, а вот мат. ожидание будет доступно только в процессе измерения, а гонять Монте-Карло "на лету" достаточно проблематично.
Но за комментарии все равно спасибо. Честно говоря, у меня была надежда, что данная задача имеет известное решение хотя бы для узкого класса полиномов. Раз нет - буду использовать более грубые оценки.

[Евгений Машеров]

Как вариант - вычислив значения корней, повторять расчёт с "возмущёнными" значениями. Скажем, подставив в уравнение значение коэффициента, равное $\mu$. повторить расчёт со значениями $\mu+\sigma$ и $\mu-\sigma$, где $\sigma $ - оценка среднеквадратичного отклонения. Если $\sigma $ мало, и мы находимся достаточно далеко от области, в которой возмущение коэффициента приводит к исчезновению корня или его сильному изменению (а чтобы это заметить - считаем и увеличивая, и уменьшая коэффициент; если изменения при увеличении и уменьшении сильно отличны, то такой способ оценки явно не работает), то СКО для корня получается, как полуразность оценок при увеличении и уменьшении коэффициентов.
Да, эмпирика. И грубая.

[VPopov]

Евгений Машеров в сообщении #550250 писал(а):

Как вариант - вычислив значения корней, повторять расчёт с "возмущёнными" значениями. Скажем, подставив в уравнение значение коэффициента, равное . повторить расчёт со значениями и , где - оценка среднеквадратичного отклонения. Если мало, и мы находимся достаточно далеко от области, в которой возмущение коэффициента приводит к исчезновению корня или его сильному изменению (а чтобы это заметить - считаем и увеличивая, и уменьшая коэффициент; если изменения при увеличении и уменьшении сильно отличны, то такой способ оценки явно не работает), то СКО для корня получается, как полуразность оценок при увеличении и уменьшении коэффициентов.
Да, эмпирика. И грубая.

Это Soft Computing. Сущность мягких вычислений состоит в том, что в отличие от статистики (это разновидность жестких вычислений, основание коих - вероятностная логика, а метод Монте-Карло - наиболее продвинутый формализм этого класса), они нацелены на приспособление к всеобъемлющей неточности реального мира. Руководящим принципом мягких вычислений является: терпимость к неточности, неопределенности и частичной истинности для достижения приближения к согласию с реальностью на основе минимизации противоречия с ней. Исходной моделью для мягких вычислений служит regula falsi, известный со времен строительства пирамид. Принципом же строгих, или дискретных вычислений, является исключение неточности, неопределенности и относительной истинности, что не согласуется с реальностью, но полностью отвечает идее непротиворечивости классического формализма. Таким образом, если логикой строгих вычислений выступает формальная классическая логика, то логикой мягкой вычислений выступает нечеткая логика, лежащая в основе теории нечетких множеств L. Zadeh.

Мягкие вычисления как и их логика не являются отдельной методологией. Это объединение, партнерство различных направлений в области неклассических логик. Главными участниками в этом объединении могут быть (из известных) немонотонная логика и воображаемая логика Васильева ("нечто есть и не есть зараз"), а также нейровычисления и генетические вычисления, разрабатываемые в исследовательской программе AI. Как легко видеть, главным в этом синтезе выступает уклон в сторону противоречивости, что является табу для традиционной математики. Главным же безусловно положительным результатом этого симбиоза классики (аристотелевский закон тождества остается незыблемым) и неклассики является уход от закона tertium non datur. В логике Заде и его теории нечетких множеств закон исключенного третьего не работает. Именно в этой перспективе основные вопросы, связанные с реальной логикой, должны рассматриваться в неразрывной связке с искусственными интеллектуальными системами, что, возможно, и вразумит, наконец математиков-ортодоксов отменить табу на закон противоречия в основаниях математики. Иначе мы далее не пойдем.

Перед тем, как спровадить меня в "чистилище", LaTexScience писал (ла) VPopov
Теория нечетких множеств сводится к теории вероятностей.
Это ошибка! Повторяю здесь специально для глубокоуважаемого LaTexScience , ибо в том месте меня уже лишили права голоса: теория вероятностей работает в рамках закона исключенного n+1-го, который всегда сводится к tertium non datur, т.е. к чистой классике, а нечеткая логика L. Zadeh блуждает на интервале {0,1}. Кстати Булев алгоритм строится на двухиндивидном отрезке [0,1]