задача с кривой

[DjD USB]

На плоскости нарисовали кривые $y=cosx$ и $x=100cos(100y)$ и отметили все точки их пересечения координаты которых положительны.Пусть а-сумма абцисс этих точек,b-сумма ординат этих точек.Найти$a/b$.

[hippie]

Ответ: 100.

Достаточно заметить, что точка $(x;\ y)$ является решением системы в том и только том случае, если решением является точка $(100y;\ \frac x{100}).$

[DjD USB]

А можно подробнее?

[hippie]

Пусть $\{(x_n;\ y_n):\ n=1,\ 2,\ \dots,\ N\}$ — точки, указанные в условии задачи.
Тогда $\left\{\left(100y_n;\ \frac {x_n}{100}\right):\ n=1,\ 2,\ \dots,\ N\right\}$ — те же самые точки (в другом порядке).

Таким образом: $\sum\limits_{n=1}^N x_n = \sum\limits_{n=1}^N (100y_n) = 100\sum\limits_{n=1}^N y_n.$

Следовательно $\frac ab = \frac{100\sum\limits_{n=1}^N y_n}{\sum\limits_{n=1}^N y_n} = 100.$