Предел

[MrDindows]

Для даного $s>-1$ найти:

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1^s+2^s+...+n^s}{n^{s+1}}}$$

Предполагаю, что задача известная и не сложная, и ответ вроде как сам напрашивается: $\frac{1}{s+1}$. Но как её решить?)

[Mr. X]

Так интегральная-ж сумма.

[MrDindows]

То есть нам здесь достаточно показать что сумма в числителе:

$$\int\limits_{0}^{n}x^sdx<S<\int\limits_{0}^{n}(x+1)^sdx$$

Да?

[Mr. X]

Нет.

$$\frac{1}{n}\left(\left(\frac{1}{n}\right)^s+\left(\frac{2}{n}\right)^s+\cdots+\left(\frac{n}{n}\right)^s\right)$$

имеет пределом

$$\int\limits_0^{1}x^s dx=\frac{1}{s+1}.$$

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #548382 писал(а):

То есть нам здесь достаточно показать что сумма в числителе:

$$\int\limits_{0}^{n}x^sdx<S<\int\limits_{0}^{n}(x+1)^sdx$$

Да?

Это у Вас что-то странное написано. Всё гораздо проще. Это именно интегральная сумма, которая сходится к интегралу

$$ \int_0^1 x^s\,dx=\frac{1}{s+1}. $$

[MrDindows]

Теперь понял. Спасибо=)
А то странное неравенство, что у меня написано, то какбы значит, что ступенчатая фигура, площадь которой $S$, является верхней границей левого и нижней границей правого интегралов.
Соответственно подставив в исходное выражение получим:

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{s+1}\left( \frac{n}{n} \right)^{s+1}}<\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1^s+2^s+...+n^s}{n^{s+1}}}<\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{s+1}\left( \frac{n+1}{n} \right)^{s+1}}$$

Если я не ошибаюсь, из этого ведь тоже следует, что $\frac{1}{s+1}$ является пределом)

[RIP]

Кстати, при $s\in(-1,0)$ интеграл несобственный, поэтому сходимость к интегралу надо обосновывать (например, через те же самые нер-ва). Можно ещё теорему Штольца применить.

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #548419 писал(а):

А то странное неравенство ...

Пардон, не вчитался (показалось, что $S$ --- эта вся дробь). Правда, там знаки неравенств нужно обратить при $-1<s<0$.

[MrDindows]

Ещё такая задачка:
Доказать, что
$\arctg{\frac{1}{2}}+\arctg{\frac{1}{8}}+...+\arctg{\frac{1}{2n^2}}=\arctg{\frac{n}{n+1}}$
Я вроде как доказал так:
Берём индукцию. База: $n=1$
Для перехода надо доказать, что для любого $n$ выполняется равенство:
$\arctg{\frac{n}{n+1}}+\arctg{\frac{1}{2(n+1)^2}}=\arctg{\frac{n+1}{n+2}}$
Чтобы это доказать, я поступил так:
Взял производную по функции
$f(n)=\arctg{\frac{n}{n+1}}+\arctg{\frac{1}{2(n+1)^2}}-\arctg{\frac{n+1}{n+2}}$
Показал, что она равна $0$ для всех $n$.
А значит $f(n)= \operatorname{const}$, и подставив $n=0$, получил, что $f(0)=0$.
Вроде ж верно?
И какие могут быть другие варианты?

[hippie]

MrDindows в сообщении #549097 писал(а):

Для перехода надо доказать, что для любого $n$ выполняется равенство:
$\arctg \frac n{n+1}+\arctg \frac 1{2(n+1)^2} = \arctg \frac{n+1}{n+2}$

А для этого достаточно проверить, что тангенсы левой и правой частей равенства совпадают:
$\tg\left(\arctg \frac n{n+1}+\arctg \frac 1{2(n+1)^2}\right) = \frac {\frac n{n+1}+\frac 1{2(n+1)^2}}{1-\frac n{n+1}\cdot \frac 1{2(n+1)^2}} = \frac{n+1}{n+2}=\tg \arctg \frac{n+1}{n+2}.$

[MrDindows]

Точняк, тангенс суммы) Я и забыл про него=)