Предел. Поведение в окрестности.

[integral2009]

Найти предел $\displaystyle\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ и построить график функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$, исследовать поведение функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$

$x_0=5$

$f(x)=(25-5x)^{\frac{1}{5-x}}$


$\displaystyle\lim_{x\to 5+0}\,(25-5x)^{\frac{1}{5-x}}=\Big[5-x=t\Big]=\displaystyle\lim_{t\to 0-0}\,(5t)^{\frac{1}{t}}=\displaystyle\lim_{t\to 0-0}\,\exp\Big(\dfrac{\ln(5t)}{t}\Big)=?$

Как дальше искать предел? И как дальше исследовать поведение в окрестности, что под этим понимается. И на основание чего строить график в окрестности этой точки?

[integral2009]

Я отпечатался, в условии $(26-5x)^{\frac{1}{5-x}}$

Посчитал предел (там все проще), получилось $\displaystyle\lim_{x\to x_0+0}f(x)=\sqrt[5]{26}=\displaystyle\lim_{x\to x_0-0}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$.

А что нужно делать дальше?

А что было бы, если бы была функция $(25-5x)^{\frac{1}{5-x}}$?

[bot]

Если 26, то выбросьте, что у Вас недополучилось, и вспоминайте второй замечательный, а если бы было 25, то справа от нуля гулять было бы нельзя.

[integral2009]

Спасибо. А можно ли только на основе этого предела

$\displaystyle\lim_{x\to 5+0}(26-5x)^{\frac{1}{5-x}}=\sqrt[5]{26}=\displaystyle\lim_{x\to 5-0}(26-5x)^{\frac{1}{5-x}}=\displaystyle\lim_{x\to 5}(26-5x)^{\frac{1}{5-x}}$

построить эскиз графика функции $f(x)=(26-5x)^{\frac{1}{5-x}}$ в окрестности точки $x_0=5$?

Или нужно еще производную считать, чтобы определить возрастание и убывание?