привести пример функции (ТФКП)

[cvyatopolk]

Помогите придумать функцию, непрерывную на границе $D$, которую нельзя продолжить до функции, непрерывной на всем $D$ и голоморфной во внутренности $D$.
$D=\{\,z \in \Bbb C : |z|<1\,\}$
Возможно, функция $1/z$ подойдет: она, действительно непрерывна на границе диска, а вот почему ее нельзя продолжить до непрерывной на всем диске и голоморфной во внутренности, не очень понятно.
Когда все происходит в вещественном случае, то продолжать до непрерывной функции умею, а вот почему в случае с комплексными функциями всё сложнее?

[svv]

cvyatopolk в сообщении #549168 писал(а):

Возможно, функция $1/z$ подойдет: она, действительно непрерывна на границе диска, а вот почему ее нельзя продолжить до непрерывной на всем диске и голоморфной во внутренности, не очень понятно.

И самое удивительное, что плохая функция $1/z$ и хорошая функция $z$ на единичной окружности отличаются, казалось бы, мелочью (вопрос: какой именно?) Но эта мелочь с неизбежностью приводит к тому, что вовнутрь круга одна функция продолжается как $1/z$, а другая -- как $z$.

[cvyatopolk]

Не понял,что за мелочь...

[svv]

Функция $z$ на единичной окружности равна $e^{i\varphi}$, где $\varphi$ -- аргумент, угловая координата. А функция $1/z$ на единичной окружности равна $e^{-i\varphi}$.
Те же самые значения, только приписаны зеркально отраженным относительно вещественной оси точкам. Окружность со значениями взяли и отразили.
Но первая функция к центру круга убывает до нуля, вторая растет до бесконечности (и это неизбежное следствие отражения).

[nnosipov]

cvyatopolk в сообщении #549168 писал(а):

Возможно, функция $1/z$ подойдет: она, действительно непрерывна на границе диска, а вот почему ее нельзя продолжить до непрерывной на всем диске и голоморфной во внутренности, не очень понятно.

Это такой классический пример. Попробуйте вычислить интеграл от неё по границе $|z|=1$.