Непрерывность квадрата разрывной функции

[Ktina]

Непрерывность квадрата разрывной функции в зависимости от рода разрыва (в заголовок не влезло).

Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть разрывная функция?

Для разрыва первого рода существует немало очевидных контрпримеров, один из которых общеизвестен:
$f(x)=1$, если $x\ge0$, и $-1$ в противном случае.

Но как быть с разрывом второго рода?
Я, сколько ни пыталась построить контрпример, не смогла.
Так это лыжи не едут, или контрпример всё же существует?

[ИСН]

А попробуйте менять знак вблизи одной точки часто-часто.

[Ktina]

ИСН в сообщении #548990 писал(а):

А попробуйте менять знак вблизи одной точки часто-часто.

$f(x)=(-1)^{\lfloor log_2|(x-1)|\rfloor}$
Так?

[Dan B-Yallay]

$$f(x)=\begin{cases} 1, \ x \in \mathbb Q \\ -1, \ x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$$

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #549002 писал(а):

$$f(x)=\begin{cases} 1, \ x \in \mathbb Q \\ -1, \ x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$$

Это, вроде, функция Дирихле, нет?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

у Дирихле 1 и 0 (или наоборот).

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #549007 писал(а):

(Оффтоп)

у Дирихле 1 и 0 (или наоборот).

А этот пример сгодится?
$f(x)=(-1)^{\lfloor log_2|(x-1)|\rfloor}$

[Dan B-Yallay]

Ktina в сообщении #549008 писал(а):

А этот пример сгодится?
$f(x)=(-1)^{\lfloor log_2|(x-1)|\rfloor}$

$f(1)=?$

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #549010 писал(а):

Ktina в сообщении #549008 писал(а):

А этот пример сгодится?
$f(x)=(-1)^{\lfloor log_2|(x-1)|\rfloor}$

$f(1)=?$

Тогда так:

$$f(x)=\begin{cases} 1, \ x=1\\ (-1)^{\lfloor log_2|(x-1)|\rfloor}, \ x\ne 1 \end{cases}$$

Идёт?

[Dan B-Yallay]

Тогда сгодится. Только можо было без логарифма обойтись.

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #549017 писал(а):

Тогда сгодится. Только можо было без логарифма обойтись.

Разумеется, можно. Но логарифм - это первое, что пришло в мою туповатую голову.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

В туповатые головы логарифмы вообще не заходят.
Не наговаривайте на себя.

[ИСН]

Мне первым делом представился $\mathop{sgn}\left(\sin{1\over x}\right)$