Задача о сходимости рядов

[Gordmit]

Пусть $\lambda_n$ - последовательность положительных чисел, монотонно стремящаяся к бесконечности и такая, что ряд

$$\sum_n \frac{1}{\lambda_n}$$

расходится.
Верно ли, что ряд

$$\sum_n \frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}$$

также расходится?

[RIP]

Верно. Критерий Коши Вам в помощь. Здесь даже неважно, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{\lambda_n}$ расходится.

А можно выразить $\lambda_n$ через $a_n=\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}$, откуда сразу получаем, что если $\sum\limits_na_n<\infty$, то $\lim\lambda_n<\infty$.

[Gordmit]

Если я правильно понимаю, чтобы с помощью критерия Коши доказать, что ряд $\sum\limits_n\dfrac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}$ расходится, мы должны показать следующее: найдется некоторое $\varepsilon_0>0$ такое, что для любого натурального $N_0$ найдутся числа $N>N_0$ и $k$ такие, что

$$\sum_{n=N}^{N+k}\dfrac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}>\varepsilon_0$$

, т.е.

$$k-\sum_{n=N}^{N+k}\dfrac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n}>\varepsilon_0$$

, или

$$\sum_{n=N}^{N+k}\dfrac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n}<k-\varepsilon_0$$

.

Не совсем понимаю, как здесь выбрать требуемое $\varepsilon_0$ и нужные числа $N, k$...
Ведь отношения $\dfrac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n}$ могут быть достаточно близкими к единице.

[RIP]

$$\sum_{n=N}^{N+k}\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}\geqslant\sum_{n=N}^{N+k}\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_{N+k}}$$

[Gordmit]

RIP писал(а):

$$\sum_{n=N}^{N+k}\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}\geqslant\sum_{n=N}^{N+k}\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_{N+k}}$$

Да, похоже, это серьезно проясняет ситуацию, спасибо!
Теперь осталось только воспользоваться тем, что $\lambda_n\to\infty$, т.е. каково бы ни было N, мы легко выберем $k$ таким образом, чтобы $\dfrac{\lambda_N}{\lambda_{N+k}}<1-\varepsilon_0$ для некоторого заранее заданного $\varepsilon_0$. Например, можно изначально взять $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$.
Спасибо!

Еще хочу немного уточнить насчет второго решения: поправьте, если что-то не так.
Я выразил $\lambda_n$ через $a_n$ следующим образом:

$$\lambda_n=\lambda_1\prod_{k=1}^{n}(1-a_k).$$

Теперь надо воспользоваться тем, что бесконечное произведение

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1-a_n)$$

сходится одновременно с рядом $\sum\limits_n a_n$ (это работает, по-моему, в случае $a_n\geqslant0$), так?

[RIP]

Только

$$\lambda_n=\lambda_0\prod_{k=1}^n(1-a_k)^{-1}$$

Но $\prod_{k=1}^{\infty}(1-a_k)^{-1}$ сходится одновременно с $\prod_{k=1}^{\infty}(1-a_k)$. А последнее сходится одновременно с $\sum a_n$ при условии, что все $a_n$ одного знака и не равны $1$.

[Gordmit]

Да, степень -1 потерял.
Все стало очень понятно, большое спасибо!