Сепарабельное пространство

[ququ]

Помогите разобраться с понятием сепарабельности пространства. Как можно "геометрически" (образно) это интерпретировать? Спасибо.

[ewert]

Никак. Это просто означает, что для более-менее точного представления всех элементов достаточно не слишком большого их количества (не более чем счётного). Факт, с точки зрения приложений -- сугубо аналитический.

[theambient]

самый яркий пример - $\mathbb Q$ сепарабельно в $\mathbb R$. Это используется в компьютере, числа с плавающей точкой заменяют нам с некоторой ошибкой (относительная -постоянна ) действительные числа.

[ewert]

theambient в сообщении #548107 писал(а):

пример - $\mathbb Q$ сепарабельно в $\mathbb R$.

Неверная формулировка. Не бывает "сепарабельности в чём-то", бывает лишь сепарабельность сама по себе. И множество вещественных чисел сепарабельно именно само по себе. Да, из-за рациональных (например), но это уже техническая деталь.

[Профессор Снэйп]

Э-э-э... Термин "сепарабельность" используется в математике в нескольких смыслах. Например, в топологии говорять о сепарабельных пространствах. А в алгебре, конкретно в теории полей - про сепарабельные расширения полей. Так что пусть топикстартер уточнит, какая сепарабельность имеется в виду.

-- Ср мар 14, 2012 13:36:51 --

Хотя из названия темы (но не из самого вопроса!) вроде ясно, что речь идёт о топологии.

Ну да там всё просто. Пространство сепарабельно, если содержит счётное всюду плотное подмножество. Другими словами, в пространство можно накидать счётное множество точек, причём таким образом, что любое открытое подмножество будет содержать хотя бы одну точку из накиданных. Или, вспоминая, что через открытые множества определяются базисы окрестностей, можно сказать так: в любой окрестности любой точки будет содержаться хотя бы одна из накиданных точек. Если понимать окрестности как множества точек, "близких" к какой-то заранее выбранной точке, то приходим к тому, о чём говорил ewert.

[theambient]

ewert в сообщении #548115 писал(а):

theambient в сообщении #548107 писал(а):

пример - $\mathbb Q$ сепарабельно в $\mathbb R$.

Неверная формулировка. Не бывает "сепарабельности в чём-то", бывает лишь сепарабельность сама по себе. И множество вещественных чисел сепарабельно именно само по себе. Да, из-за рациональных (например), но это уже техническая деталь.

согласен, хотел сказать "плотно".

а сепарабельность - то что найдется всюду плотное счетное множество.

[Hymilev]

ewert в сообщении #548115 писал(а):

theambient в сообщении #548107 писал(а):

пример - $\mathbb Q$ сепарабельно в $\mathbb R$.

Неверная формулировка. Не бывает "сепарабельности в чём-то", бывает лишь сепарабельность сама по себе. И множество вещественных чисел сепарабельно именно само по себе. Да, из-за рациональных (например), но это уже техническая деталь.

Понятие сепарабельности нельзя применять для множеств, поскольку на одном и том же множестве можно по разному вводить метрику и тогда мы получим совершенно разные результаты. Говоря о множестве вещественных чисел Вы имеете в виду R с привычным понятием расстояния, можно расстояние сделать необычным и сепарабельности не будет.

[JMH]

Понятие сепарабельности можно и нужно применять к любым множествам, в том числе неметризуемым. Простейший пример - антидискретная топология.

[theambient]

1) правильно ли я понимаю, что сепарабельность для топологических пространмств определяется через чуществование всюду плотоного счетного множества, т.е. такого множества, замыкание которого совпадает со всем топологическим пространством.

2) не пораждается ли топологией мера?

[JMH]

1) Да.
2) Вы, наверное, имели ввиду метрику? В общем случае нет, пример - та же самая антидискретная топология - она не метризуема.

[theambient]

да, метрику.

весьма интересно, очень сожалею что у меня не было топологии и кроме определения я не знаю, что это за зверь и с чем его едят.

[JMH]

Очень просто: берём произвольное множество $X$ и определяем в нём всего два открытых подмножества: $\varnothing$ и само $X$; полученное топологическое пространство называется антидискретным. Очевидно, что оно сепарабельно и также очевидно, что любые два различные элемента $X$, отличные от $\varnothing$ не имеют различных окрестностей, т.е. не существует метрики, определяющей данную топологию.

[Профессор Снэйп]

JMH в сообщении #548763 писал(а):

...не существует метрики, определяющей данную топологию.

За исключением случая, когда $X$ содержит не более одного элемента

(Оффтоп)

Вот ещё забавный вопрос, совершенно не в тему, но тоже намекающий на некоторую возможность исключения.

На множестве бинарных отношений множества $X$ введём отношение композиции: $R \circ S = \{ \langle x,z \rangle : (\exists y \in X)(xRy \mathop{\&} ySz) \}$. Вопрос: для каких $X$ алгебраическая система $\langle \mathrm{Bin}(X), \circ \rangle$ является группой?

[Hymilev]

JMH в сообщении #548763 писал(а):

Очень просто: берём произвольное множество $X$ и определяем в нём всего два открытых подмножества: $\varnothing$ и само $X$; полученное топологическое пространство называется антидискретным. Очевидно, что оно сепарабельно и также очевидно, что любые два различные элемента $X$, отличные от $\varnothing$ не имеют различных окрестностей, т.е. не существует метрики, определяющей данную топологию.

Я совсем запутался. Получается любое множество сепарабельно? Или все таки сепарабельность это не столько свойство множества сколько структуры на нем?

[ewert]

Hymilev в сообщении #549125 писал(а):

сепарабельность это не столько свойство множества сколько структуры на нем?

Конечно. Только не "на нём", а в пространстве, в котором "оно".