Интеграл от рациональной функции

[LuXOR87]

Доброго здоровья участникам!
Ваш форум не раз помогал мне в сложных ситуациях.
На сей раз нужно помочь другу с интегралами от дробно-рациональной
функции, т.к. учиться на заочке и должного внимания изучению диф. и интегрального
исчисления не уделяют, а спрашивают много. Некоторые интегралы вычислил
по памяти, а вот этим

$$\int \frac{3x+1}{x(x^2+1)}dx$$

возникли вопросы.
По крайней мере хотелось бы знать - с чего начать разложение данной дроби на элементарные
и необходимо ли это в данном конкретном случае?
Конечно, понимаю, что задача довольно проста, только экзамен по высшей математике я сдал 5 лет назад,
да и программы подготовки у нас с приятелем разные

[andreiandrei]

Стёр

[Dan B-Yallay]

"Интегрирование дробно-рациональной функции.Метод неопределенных коэффициентов"
если останутся вопросы- задавайте.

[ИСН]

Да, с разложения на элементарные. Да, необходимо, если у Вас нет идей получше. (У меня, например - в данном случае нету.) Есть идеи? Нет? Тогда берите лопату...

[svv]

$$\int \frac{3x+1}{x(x^2+1)}dx=3\int \frac{dx}{x^2+1}+\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$$

Первый табличный. Второй равен:

$$\int \frac{xdx}{x^2(x^2+1)}=\frac 1 2\int \frac{dt}{t(t+1)}$$

[spaits]

Dan B-Yallay в сообщении #548733 писал(а):

"Интегрирование дробно-рациональной функции.Метод неопределенных коэффициентов"
если останутся вопросы- задавайте.

svv решил без метода неопределенных коэффициентов.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

spaits в сообщении #548761 писал(а):

svv решил без метода неопределенных коэффициентов.

1) ну, если выражаться точно, ув. svv свел искомый интеграл к табличному и $\displaystyle\int \dfrac {dt}{t(t+1)}$. А этот последний очень просто вычисляется опять таки разложением на элементарные дроби с неопределенными коэффициентами. По крайней мере это быстрее, чем дополнять до квадрата и заменять переменную.

2) никто и не утверждал, что это единственно возможный способ. Как сказал тов. ИСН:

ИСН в сообщении #548747 писал(а):

Да, необходимо, если у Вас нет идей получше. (У меня, например - в данном случае нету.) Есть идеи? Нет? Тогда берите лопату...

[spaits]

Dan B-Yallay в сообщении #548809 писал(а):

(Оффтоп)

spaits в сообщении #548761 писал(а):

svv решил без метода неопределенных коэффициентов.

1) ну, если выражаться точно, ув. svv свел искомый интеграл к табличному и $\displaystyle\int \dfrac {dt}{t(t+1)}$. А этот последний очень просто вычисляется опять таки разложением на элементарные дроби с неопределенными коэффициентами. По крайней мере это быстрее, чем дополнять до квадрата и заменять переменную.

2) никто и не утверждал, что это единственно возможный способ. Как сказал тов. ИСН:

ИСН в сообщении #548747 писал(а):

Да, необходимо, если у Вас нет идей получше. (У меня, например - в данном случае нету.) Есть идеи? Нет? Тогда берите лопату...

-- Пт мар 16, 2012 03:11:41 --

Даже лопатой копайте точнее!

[LuXOR87]

Спасибо!
С этим типом рационального выражения все более менее ясно
Злоупотребляя вашим терпением, хочу уточнить, дробь вида:
$\frac {8x+5}{(x+1)(x^2+2)}$
интегрируется так же как и предыдущая?
Меня почему-то терзают смутные сомнения по поводу знаменателя оной.

[ИСН]

Слушайте, у Вас есть способ, которым интегрируются все рациональные функции. Тупо все. Вообще все. И та, и эта, и которая у дяди Васи в подвале спрятана. Чего Вам ещё надо?

[gris]

А тут не видно никаких штучек. Да и чем их выискивать, проще воспользоваться стандартным методом.
Вот если бы было $\frac {3x^2+2x+2}{(x+1)(x^2+2)}$ :мечтательно:

[LuXOR87]

(Оффтоп)

2 ИСН
Благодарю - Вы меня успокоили. Всегда ценил чувство юмора преподавателей математики Теперь дело за малым, "натаскать" приятеля перед сессией