Простые корни в поле разложения

[Unconnected]

$K - поле из $q=p^n$ элементов, p - простое, F - подполе $K (Z_p \to K)$.
Теорема говорит, что для $f=x^q-x \in F[X], K$ - поле разложения. Доказательство понял, только во втором пункте, где показывается что нет промежуточного поля, в котором возможно разложение, странность: Пусть $L_2$ промежуточное подполе, тогда $f=(x-c_1)...(x-c_n)$. Т.к. $f'=-1$, то корни $f$ попарно различны (т.к. простые), и дальше из этого что-то следует. Вопрос, как из производной = -1 что-то следует, и почему это корни вдруг простые? Я как бы для себя придумал другое доказательство, мол, уже знаем, что есть поле разложения побольше, и все его элементы - корни(это доказывается), значит в поле с меньшим количеством элементов так же разложить не получится..

[AV_77]

Кратные корни многочлена являются одновременно и корнями его производной. Поэтому если многочлен взаимно прост с производной, то кратных корней нет.

[Unconnected]

А почему они простые?

[AV_77]

Вы про корни? Простые в смысле не кратные.

[Unconnected]

Ясно, спасибо)

[Unconnected]

Лемма об изоморфизме: $\phi: K \to \overline{K}$, - изоморфизм полей, $L,\overline{L}$ - соответствующие расширения, причём $\overline{L}=K[X]/(f) (f \in K[X]$ - неприводим). Доказывается, что между первым расширением и вторым есть инъекция. Находится сюрьективный гомоморфизм $\pi: K[X] \to \overline{L}$ с ядром $f$. И потом из этого следует, что $L=Im(\pi)$! Ладно бы я понял, если изоморфно, но почему равно-то?