Производные

[integral2009]

1) Найти экстремумы функции $y=x^2+12xy+2y^2$ при $4x^2+y^2=25$

$L=x^2+12xy+2y^2+\lambda(4x^2+y^2-25)$

Не получилось решить систему. Как ее удобнее решать?

$L'_x=2x+12y+8\lambda x=0$

$L'_y=2y+12x+2\lambda y=0$

$4x^2+y^2=25$

2) Найти экстремумы функции $z=x^2+xy+y^2-4\ln x-10\ln y$

Не получилось решить систему уравнений, как ее удобнее решить?

$z'_x=2x+y-4/x=0$

$z'_y=2y+x-10/y=0$

3) Найти производную $\dfrac{dy}{dx}$, если $y^x=x^y$

$F(x,y)=y^x-x^y$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$

$F'_x=y^x\ln y-yx^{y-1}$

$F'_y=xy^{x-1}-x^{y}\ln x$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{yx^{y-1}-y^x\ln y}{xy^{x-1}-x^{y}\ln x}$

С ответом не совпало, там $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2(1-\ln y)}{x^2(1-\ln x)}$

[bot]

1) Однородная линейная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда ...
2) Например, тупо выразить $y$ из первого и подставить во второе
3) Лучше сначала прологарифмировать $\frac{\ln y}{y}=\frac{\ln x}{x}$, а потом дифференцировать.

[Алексей К.]

3) А у Вас есть соотношение $y^x=x^y$. С ним можно поиграть, поподставлять в Ваше решение, пытаясь придать ему более простой вид: пусть чего-то там сократится.
Ну или, коли уж ответ известен, тупо попытаться привести к данному ответу.

[bot]

У ТС ответ верный и играя равенством $x^y=y^x$ его можно привести к виду только похожему на приведённый ответ, но не к нему, потому что он неверный (логарифмы надо местами поменять). При дифференцировании после логарифмирования никакой игры не понадобится.

[ewert]

bot в сообщении #547865 писал(а):

2) Например, тупо выразить $y$ из первого и подставить во второе

Тогда получится уравнение четвёртой степени.

Можно умножить первое уравнение на $a$, второе на $b$ и сложить: $(2a+b)x+(a+2b)y=\dfrac{10bx+4ay}{xy}$. И потребовать, чтобы коэффициенты при иксах и игреках слева и справа оказались пропорциональны: $\dfrac{2a+b}{a+2b}=\dfrac{10b}{4a}$; это -- квадратное уравнение относительно $t=\dfrac{b}{a}$. После его решения и подстановки получится уравнение вида $\alpha x+\beta y=\gamma\dfrac{\alpha x+\beta y}{xy}$, т.е. или $\alpha x+\beta y=0$, или $xy=\gamma$, после чего всё ясно. (Формально тут получается четыре варианта, но два сразу отбраковываются по знакам, а в конце концов остаётся вообще только одна точка.)

Не знаю, как можно проще.

-- Вт мар 13, 2012 11:07:27 --

Вот так проще (и, главное, стандартно). Вычесть $2x^2+xy=4$, умноженное на $5$ из $xy+2y^2=10$, умноженного на $2$; сразу получится однородное уравнение второй степени. Странно, почему сразу в голову не пришло.

[bot]

ewert в сообщении #547891 писал(а):

Странно, почему сразу в голову не пришло.

Тоже когда-то извращался с уничтожением свободных членов, но советовать не стал, так как по-тупому всё простенько и биквадратненько - студенты научили.

[integral2009]

bot в сообщении #547865 писал(а):

1) Однородная линейная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда ...
2) Например, тупо выразить $y$ из первого и подставить во второе
3) Лучше сначала прологарифмировать $\frac{\ln y}{y}=\frac{\ln x}{x}$, а потом дифференцировать.

1) Когда определитель этой системы равен нулю, то есть $(1+4\lambda)(1+\lambda)-36=0$

Но ведь корни очень кривые получаются. $\lambda_{1,2}=\frac{-5\pm 3 \sqrt{65}}{8}$

Неужели так и должно быть?

2) Ок, спасибо, я чуть позже вечерком попробую так сделать, напишу потом.

3) Спасибо, буду знать, так действительно было бы проще.

-- Вт мар 13, 2012 16:10:45 --

Алексей К. в сообщении #547884 писал(а):

3) А у Вас есть соотношение $y^x=x^y$. С ним можно поиграть, поподставлять в Ваше решение, пытаясь придать ему более простой вид: пусть чего-то там сократится.
Ну или, коли уж ответ известен, тупо попытаться привести к данному ответу.

Спасибо.

-- Вт мар 13, 2012 16:13:15 --

ewert в сообщении #547891 писал(а):

bot в сообщении #547865 писал(а):

2) Например, тупо выразить $y$ из первого и подставить во второе

Тогда получится уравнение четвёртой степени.

Можно умножить первое уравнение на $a$, второе на $b$ и сложить: $(2a+b)x+(a+2b)y=\dfrac{10bx+4ay}{xy}$. И потребовать, чтобы коэффициенты при иксах и игреках слева и справа оказались пропорциональны: $\dfrac{2a+b}{a+2b}=\dfrac{10b}{4a}$; это -- квадратное уравнение относительно $t=\dfrac{b}{a}$. После его решения и подстановки получится уравнение вида $\alpha x+\beta y=\gamma\dfrac{\alpha x+\beta y}{xy}$, т.е. или $\alpha x+\beta y=0$, или $xy=\gamma$, после чего всё ясно. (Формально тут получается четыре варианта, но два сразу отбраковываются по знакам, а в конце концов остаётся вообще только одна точка.)

Не знаю, как можно проще.

-- Вт мар 13, 2012 11:07:27 --

Вот так проще (и, главное, стандартно). Вычесть $2x^2+xy=4$, умноженное на $5$ из $xy+2y^2=10$, умноженного на $2$; сразу получится однородное уравнение второй степени. Странно, почему сразу в голову не пришло.

Интересный способ, но проще получить уравнение 4-ой степени (по-крайней мере для меня сейчас).

[bot]

integral2009 в сообщении #547999 писал(а):

Но ведь корни очень кривые получаются

Пересчитайте $L'_y$, корни неплохие, один даже целый.

[integral2009]

bot в сообщении #548005 писал(а):

integral2009 в сообщении #547999 писал(а):

Но ведь корни очень кривые получаются

Пересчитайте $L'_y$, корни неплохие, один даже целый.

Спасибо, пересчитал, все теперь получилось, только ответ в 3) получился немного другой

$y'_x=\dfrac{y^2-xy\ln y}{x^2-xy\ln x}$

Правильно?

[bot]

Правильно, а если ещё раз воспользоваться равенством $x\ln y=y\ln x$, то получится ещё более похожий на ответ, но правильный.
А вот если дифференцировать равенство $\frac{\ln y}{y}=\frac{\ln x}{x}$, то всё получается сразу без преобразований: $\frac{1-\ln y}{y^2}\cdot y'=\frac{1-\ln x}{x^2}$

[integral2009]

bot в сообщении #548153 писал(а):

Правильно, а если ещё раз воспользоваться равенством $x\ln y=y\ln x$, то получится ещё более похожий на ответ, но правильный.
А вот если дифференцировать равенство $\frac{\ln y}{y}=\frac{\ln x}{x}$, то всё получается сразу без преобразований: $\frac{1-\ln y}{y^2}\cdot y'=\frac{1-\ln x}{x^2}$

Спасибо, понятно