Вопросы, связанные с ОДЗ

[Fanday]

Здравствуйте.
При решении иррациональных уравнений у меня возник вопрос: есть ли вообще смысл находить ОДЗ? Не достаточно ли будет обычной подстановки после решения?

$\sqrt{12 x^2 + 4} = 6x + 10$

Вы извините, формулы набирать здесь, на форуме, мне пока трудность составляет, поэтому могу и спутать чего.

Я решаю так:

ОДЗ:

$12 x^2 + 4 \geqslant 0$

$x^2 \geqslant - \frac13$

Дальше не знаю. Почему-то припоминаются давние слова учителя, что нельзя в неравенствах под корень брать обе части.

Решение:

$\sqrt{12 x^2 + 4} = 6x + 10$

$12x^2 + 4 = 36x^2 + 120x + 100$

$-x^2 - 5x - 4 = 0$

$x_{1} = -1$


$x_{2} = - 4$

Проверка:

Подставив $-1$, получил $\sqrt{16} = 4$,

подставив $-4$, получил $\sqrt{196} = -14$.

И то, и другое совпало, но ОДЗ всё так же осталось недорешенным.
И ответ говорит, что корень только один $-1$

Заранее спасибо тем (если таковые найдутся ), кто решится помочь недалекому мальчугану

[gris]

Находить ОДЗ иногда весьма хлопотно и достаточно лишь указать его в виде неравенства. Однако при решении уравнений необходимо показать, что получаемое уравнение является следствием предыдущего, то есть нет потерянных корней.
При решении неравенств придётся делать равносильные преобразования и возвести обе части в квадрат просто так не получится. Надо и ОДЗ найти и знак обеих частей неравенства поанализировать.
Найденное число $-4$ корень посторонний, так как $\sqrt {196}=+14$. Квадратный корень из положительного числа по определению число положительное.
В простых случаях лучше находить ОДЗ и выполнять только равносильные преобразования даже для уравнений. Это надёжнее и математически культурнее.

[Fanday]

Спасибо за ответ.

Цитата:

Находить ОДЗ иногда весьма хлопотно и достаточно лишь указать его в виде неравенства.

То есть действительно достаточно лишь подставить после решения для проверки?

Цитата:

При решении уравнений необходимо также показать, что получаемое уравнение является следствием предыдущего, то есть нет потерянных корней.

А вот этого я не понял. Что в моем случае не было показано?

$x^2 \geqslant - \frac13$
С этим всё таки что-то сделать можно? Даже если не нужно, то возможно ли?

И почему ответ $-4$ не подходит?

-- 11.03.2012, 19:08 --

Цитата:

Квадратный корень из положительного числа по определению число положительное.

Почему? Насколько я знаю, корень из, к примеру, $16$ - это $4$ и $-4$. Нет?

-- 11.03.2012, 19:10 --

И ещё... В каких случаях нужно рассматривать правую часть $6x + 10 \geqslant 0$?

-- 11.03.2012, 19:12 --

Цитата:

В простых случаях лучше находить ОДЗ и выполнять только равносильные преобразования даже для уравнений. Это надёжнее и математически культурнее.

Я, возможно, глуповат, но не понимаю, что вы имеете в виду. Я привык наглядный пример видеть, поэтому не сразу понимаю. Извините.

[gris]

Вы должны сказать фразу, что при возведении в квадрат не происходит потери корней.
Числа $\pm14$ являются корнями уравнения $x^2=196$, но квадратным корнем из числа $196$ является лишь число $+14$.
Разумеется, если требуется только ответ, то ничего оговаривать не нужно, а лишь понимать про себя.

[ewert]

Fanday в сообщении #547429 писал(а):

То есть действительно достаточно лишь подставить после решения для проверки?

В принципе да. Но если корни окажутся плохими, то подстановка будет хлопотной; лучше уж как-нибудь добить ОДЗ. В общем, это индивидуально решается.

Fanday в сообщении #547429 писал(а):

А вот этого я не понял. Что в моем случае не было показано?

Если $4^2=(-4)^2$, то следует ли отсюда, что $4=-4$?...

[gris]

Вот пример, когда ОДЗ находить хлопотно: $\sqrt{x^3+x^2+2x-7}=x+1$

[Fanday]

Спасибо, что отвечаете. Всегда восхищался людьми, готовыми помочь безвозмездно.

Цитата:

Вы должны сказать фразу, что при возведении в квадрат не происходит потери корней.

А в каких случаях потеря корней происходит? Скажу я это фразу, но ссылаясь на что? Никогда не сталкивался с этой потерей.

Цитата:

Числа являются корнями уравнения , но квадратным корнем из числа является лишь число .

Так, никогда об этом не слышал. То есть при решении подобных уравнений корнем из числа 196 НИКАК не может являться число $-14$? Как уж так. Сразу вспоминается $sin^2 x = 1$, $sinx = \pm 1$

[nnosipov]

Fanday в сообщении #547429 писал(а):

$x^2 \geqslant - \frac13$
С этим всё таки что-то сделать можно?

Можно. Например, взять и заявить, что это неравенство выполнено всегда. И, стало быть, ОДЗ Вашего неравенства --- это множество всех возможных значений $x$, т.е. $\mathbb{R}$.

[gris]

Вы путаете арифметический корень из неотрицательного числа и корень уравнения.
Потеря корней? Пожалуйста. При сокращении. $x^2=x^3$.
Около 1% школьников сократят на $x^2$ и получат "единственный корень" — единицу, численно равный своей оценке за задачу.

[Fanday]

Цитата:

И, стало быть, ОДЗ Вашего неравенства --- это множество всех возможных значений , т.е. .

Во-первых, не знаю что такое R. Во-вторых, почему это я могу заявить, что ОДЗ - это множество всех возможных значений, если прямо видно, что $x^2 \geqslant - \frac13$

[nnosipov]

gris в сообщении #547440 писал(а):

Около 1% школьников ...

Не слишком ли оптимистично?

[Fanday]

Цитата:

Потеря корней? Пожалуйста. При сокращении.

Как вы это получаете? Хотя.. Да в принципе пока не важно, не запутаться бы...

-- 11.03.2012, 19:32 --

Цитата:

Около 1% школьников

Я уверен, что 80 % школьников из моего класса вообще не решат подобное.

-- 11.03.2012, 19:33 --

Цитата:

Вы путаете арифметический корень из неотрицательного числа и корень уравнения.

Спасибо, понял. Корень из какого-то числа - положительный. А если, скажем, икс в квадрате, то его значение плюс-минус.

[nnosipov]

Fanday в сообщении #547442 писал(а):

Во-первых, не знаю что такое R.

Буквой $\mathbb{R}$ обычно обозначают множество всех вещественных (действительных) чисел.

Fanday в сообщении #547442 писал(а):

Во-вторых, почему это я могу заявить, что ОДЗ - это множество всех возможных значений, если прямо видно, что $x^2 \geqslant - \frac13$

Вот именно поэтому и можете заявить. Ведь это неравенство выполнено для всех $x$.

[Fanday]

Цитата:

Буквой обычно обозначают множество всех вещественных (действительных) чисел.

А, точно, понял.

Цитата:

Вот именно поэтому и можете заявить. Ведь это неравенство выполнено для всех .

Ой, точняк, даже 0 подходит. не обратил внимания, спасибо.

-- 11.03.2012, 19:37 --

Теперь скажите, пожалуйста, если легко находится ОДЗ, то нет смысла подставлять ответ для проверки, правильно? А если ОДЗ находится, как вы говорите, хлопотно, то нужно в обязательном порядке подставить ответ после решения? Правильно понимаю?
А от греха подальше лучше и то и другое проделать.

-- 11.03.2012, 19:38 --

Цитата:

Ведь это неравенство выполнено для всех .

Но можно ли как то избавиться от квадрата, чтобы нагляднее видеть что для чего выполнено?
Просто нельзя ведь обе части под корень брать.

-- 11.03.2012, 19:51 --

.

[gris]

Проверку корней производить желательно всегда, но на черновичке. Всякое бывает.
Я бы сделал так. Правая часть уравнения определена и положительна при любом значении $x$. На интервале $\left(-\infty,-\dfrac53\right)$ правая часть отрицательна и корней быть не может. На интервале $\left[-\dfrac53,\infty\right)$ обе части уравнения неотрицательны, и возведение обеих в квадрат приводит к равносильному уравнению, которое Вы успешно решили. В указанном интервале лежит только один корень $-1$.

А вместо сокращения надо переносить всё в левую часть и за скобку выносить $x^2$. Это я для своего уравнения.