Введение. ПСС
Особенностью всех простых чисел, помимо всего прочего, является возможность представления степеней натуральных чисел, если показатель - простое число, в виде пространственно-степенных упорядоченных дискретных структур (далее - ПСС - пространственно-степенная структура) по основанию, т.е., самому числу. Дискретность подразумевает «сложенность» из каких-либо единичных точек (шаров, предметов). Упорядоченность в ПСС определяет некоторые замечательные закономерности, которые можно использовать, в частности, для док-ва ВТФ.
Это возможно, благодаря тому, что, как известно, для любой простой степени справедливо:
Если p - простое, то
кратно 6p, при
. Для
всегда кратно p. При этом, р (а также сомножители 2 и 3) для 3-ей степени и 6р (а также сомножители 2, 3, 2р, 3р, р) для бОльших простых степеней представляют собой некое подобие "кирпичиков" для строительства ПСС. Для
, кстати, такая структура также возможна. В роли "кирпичика" выступает 2.
На рис.1
изображено представление в виде ПСС (Для квадрата, правда, не пространственная структура, а плоскостная в силу понятных причин) квадратов чисел 3, 4 и 5. При этом видно, как происходит формирование квадрата следующего числа - добавлением точно такого же слоя плюс два шарика по краям. На рисунках само основание выделено зеленым цветом. Замечательность такого представления заключается в том, что с ПСС можно, как минимум, частично выполнять операции пространственного (плоскостного для квадрата) сложения и вычитания.
Любую «пространственную» ПСС можно изобразить на плоскости, в виде «сечения» соответствующей пространственной фигуры, при этом подразумевая, что ПСС всегда имеет объем (причем, несколько забегая вперед, замечу вполне понятное 3-е измерение и для простых степеней больших 3,).
Для куба ПСС изображена на рис. 2
. При этом, каждый последующий слой (а вместе с предыдущими слоями в сумме и куб последующего числа) образуется добавлением во внешнем кольце ещё одной 6-ки. При этом, бОльшее сечение будет соответствовать квадрату этого же числа. Что наглядно и продемонстрировано.
На рис.3 -6 продемонстрирована пространственная проверка решения известного пифагорового равенства для кубов. Видно, что из куба 5-ти легко отнимается куб 4-рех и остается один слой. Далее верхний слой от куба 4-рех "нейтрализуется" внутренним аналогичным слоем оставшегося предыдущего слоя и остается кольцо шестерок, из которого необходимо сложить 2 в кубе. Здесь сразу можно, не считая кол-ва шариков, и зная способ образования кубических ПСС, сказать, что это невозможно. В самом деле – заранее известно, что кольцо шестерок по определению ПСС всегда состоит из целого количества шестерок, в то время как у 2-ух в кубе основание (само число 2) окружено также целым количеством шестерок, однако эта 2-ка как раз и оказывается «несравнимой». Кстати, последовательность операций можно изменить, то есть из куба 5-ти вначале вычесть куб 3-х, из оставшихся двух слоев частично вычесть куб 4-х. В итоге придем к тому же самому – необходимо «сложить» куб 2-х из двух колец, каждое из которых находится в своем ряду. Такую структуру назовем связанной.
Ещё для примера, на рис. 7 изображено предполагаемое решение вполне конкретного уравнения
Думаю, из рисунка все понятно. То есть, для всех троек возможного решения ВТФ для куба необходимым и достаточным условием существования таких решений, является возможность представления куба некого числа вида 6n в виде связанного, в общем случае многоуровневого (как на рис. 7, например) кольца шестерок.
Далее, пока на этом остановлюсь (отвечу на вопросы по ПСС, подготовлю некоторые рисунки).
План дальнейших действий (все на основе ПСС и их свойств):
1. Самым элементарным (скорее всего одним из многих)способом покажу невозможность построения ПСС вида
из связанного одноуровневого кольца шестерок. «Одноуровневого», значит, что в выражении
для Z и Y справедливо
. Это, в свою очередь будет показано (язык не поворачивается сказать «доказано» - настолько все элементарно) на основании следующего ключевого момента:
Если существует куб некоторого числа 6n, представимый в виде связанного одноуровневого кольца шестерок, то этот куб обязан иметь делитель вида
,
к которому также легко прийти.
2. Далее распространим метод на многоуровневые кольца.
3. Поговорим о простых степенях больших 3.
P.S. Некоторые замечания – по-моему, математическая наука слишком «быстро» приобрела «мощные средства». Те же выводы, которые сделаю я и тем же способом, могли запросто сделать, не то что Ферма, а и задолго до него древние люди просто выкладывая камушки.
. Вы серьёзно хотите, чтобы я читал дальше?
, а также показаны ещё некоторые свойства связанных структур. Как-то: первое кольцо шестерок из общего связанного кольца (черного цвета на рисунке), из которого нужно "сложить" пирамиду 
, и, следовательно, содержит в себе 
. 
), то для пятой степени это будет (
), т.е. десятка. Конечно, так красиво изобразить, скажем "вид сверху" на такую пирамиду как для куба не получится, ну не ложатся 30 шариков в ряд вокруг одного шара. Однако, как говорится, без потери общности, ничто не мешает изображать нам пирамиду для пятой степени по принципу "кубовой". С той лишь разницей, что каждый последующий слой формируется по принципу: кждый n-ый слой имеет в своем составе 
рядов, начиная с первого. Остальные пространственные операции точно также возможны, как и для кубовых пирамид. То есть, те же самые "связанные кольца" и проч. 
частный (для упорядоченных форм) случай гипотезы Пуанкаре:
