Механика твердого тела

[ramilguliev]

Всем доброго времени суток!

Возникла небольшая проблема при решении задачи. Не могли бы вы проверить мои рассуждения.

На однородный стержень, подвешенный за один из концов, попадает летящее горизонтально тело и прилипает к нему. Определите на какой угол отклоняется стержень от вертикального положения. Длина и масса стержня соответственно равны 0,51 м, 980 г. Масса тела 12 г. Расстояние от точки подвеса до линии движения тела равно 34 см. Скорость тела до столкновения 30 м/с. Какую работу нужно совершить чтобы не дать стержню отклониться от первоначального положения.


1). Закон сохранения момента импульса для системы:

$m_{\text{тела}} \upsilon_{\text{тела}} h = m_{\text{тела}} \omega_0 h^2\ + \ J_{\text{ст}} \omega_0$\ , \ где h\ -\ это расстояние от точки подвеса до линии движения тела

Отсюда выразим $\omega_0$ и подставим числовые значения:

$\omega_0\ = \frac {m_{\text{тела}} \upsilon_{\text{тела}} h} {m_{\text{тела}} h^2\ + \ J_{\text{ст}}}$

$\omega_0\ = \frac {0,012 \cdot 30 \cdot 0,34} {0,012 \cdot 0,34^2\ + \ 0,33 \cdot 0,98 \cdot 0,51^2}\ = \ 1,43$ рад/с


2). Закон сохранения энергии для системы:

$\frac {J_{\text{ст}} \omega_0^2} {2} \ = \ m_{\text{ст}} g l$ , где l \ - \ это максимальная высота подъема стержня

Отсюда выразим $l$ и подставим числовые значения:

$l\ = \frac {J_{\text{ст}} \omega_0^2} {2 m_{\text{ст}} g}$

$l = \frac {0,33 \cdot 0,98 \cdot 0,51^2 \cdot 1,43^2} {2 \cdot 0,98 \cdot 9,82} = 0,009$ м

Зная $l$, можно найти угол отклонения $x$ (Рис.1):



$x = \arccos {\frac {0,51 - 0,009} {0,51}} = 0,09$ рад


3). Работу найдем по формуле:

$$A = M_\text{ст} \cdot x \eqno (1)$$

4). Найдем момент силы по формуле:

$$M_\text{ст} = J_\text{ст} \cdot \varepsilon \eqno (2)$$

5). Найдем ускорение по формуле:

$$x=x_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon \cdot t^2} {2} \eqno (3) $$

Т.к. конечная угловая скорость равна нулю, $\varepsilon = \frac {\omega - \omega_0} {t}$, то формула (3) преобразуется:

$x =\frac {\omega_0 \cdot t} {2}$, откуда найдем $t$ :

$t = \frac {2 \cdot x} {\omega_0}$

$t = \frac {2 \cdot 0,09} {1,43} = 0,13$ c

Найдем ускорение:

$\varepsilon =\frac {-\omega_0} {t}$

$\varepsilon = \frac {-1,43} {0,13} = -11$

6). Подставим числовые значения момента инерции стержня и углового ускорения в формулу (2) и найдем момент силы стержня:

$M = 0,33 \cdot 0,98 \cdot 0,51^2 \cdot 11 = 0,93$ Н/м

7). Подставим числовые значения момента силы стержня и угла отклонения в формулу (1) и найдем работу:

$A = 0,93 \cdot 0,09 = 0,08$ Дж


Ответ: $x = 0,09$ рад, $A = 0,08$ Дж


Заранее благодарен.

P.S.: извините за не очень корректное написание формул - первый раз пользуюсь LaTeX.

[miflin]

ramilguliev в сообщении #546814 писал(а):

1). Закон сохранения момента импульса для системы:

Здесь верно.

ramilguliev в сообщении #546814 писал(а):

2). Закон сохранения энергии для системы:

Здесь накосячили:
а) забыли о прилипшем теле;
б) находя потенциальную энергию стержня, нужно отслеживать
положение центра тяжести;
в) движение стержня не будет равнозамедленным, и вообще переусложнили -
исходИте из закона сохранения энергии: как распределилась
первоначальная энергия тела?
г) возможно, что-то недоглядел.

Решать желательно в общем виде - так легче анализировать.

[ramilguliev]

Получается:

а). Момент инерции системы после столкновения:

$J_c = J_{\text{ст}} + J_{\text{тела}}$

Тогда вопрос: можно ли принять тело за материальную точку и, соответственно, вычислить для нее момент инерции, как $J_{\text{тела}} = m_{\text{тела}} \cdot h^2$ ?

б). Я найду $l$, которое уже будет не до конца стержня, а до центра масс (Рис. 2):



Соответсвенно, угол X будет другой.

в). Кинетическая энергия тела распределилась на изменение кинетической энергии вращения системы и на изменение потенцильной энергии системы:

$\frac {m_{\text{тела}} \cdot \upsilon^2} {2} = \frac {J_c \cdot \omega^2} {2} + m_c \cdot g \cdot l$

А работа, которую нам необходимо найти - это кинетическая энергия тела до столкновения.

[miflin]

ramilguliev в сообщении #547014 писал(а):

Получается:

а). Момент инерции системы после столкновения:

$J_c = J_{\text{ст}} + J_{\text{тела}}$

Верно.

Цитата:

Тогда вопрос: можно ли принять тело за материальную точку и, соответственно, вычислить для нее момент инерции, как $J_{\text{тела}} = m_{\text{тела}} \cdot h^2$ ?

Угу.

Цитата:

б). Я найду $l$, которое уже будет не до конца стержня, а до центра масс (Рис. 2):

Про тело не забудьте.

Цитата:

в). Кинетическая энергия тела распределилась на изменение кинетической энергии вращения системы и на изменение потенцильной энергии системы:

$\frac {m_{\text{тела}} \cdot \upsilon^2} {2} = \frac {J_c \cdot \omega^2} {2} + m_c \cdot g \cdot l$

А работа, которую нам необходимо найти - это кинетическая энергия тела до столкновения.

Здесь несколько другое имел в виду. Поскольку тело прилипло, то имеем
абсолютно неупругий удар - часть кинетической энергии тела перешла
в тепловую. Оставшаяся часть распределилась между телом и стержнем.
И Вы правильно сделали, что начали с закона соханения момента импульса,
т.к. механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется.
Вы нашли начальную угловую скорость системы стержень+тело, теперь без
труда найдете кинетическую энергию в начальный момент. Вот какую теперь
работу нужно совершить, чтобы "задавить" эту энергию?

[ramilguliev]

Получается, что работу, равную кинетической энергии вращения системы?

Выходит, что кинетическая энергия тела распределилась на тепловую и кинетическую вращения. А кинетическая вращения, уменьшаясь, постепенно переходит в потенциальную?

То бишь это уравнение верно:

$\frac {J_c \omega_0^2} {2} \ = \ m_c \cdot g l$ ?

Или я конкретно запутался...

[miflin]

ramilguliev в сообщении #547050 писал(а):

Получается, что работу, равную кинетической энергии вращения системы?

Да. Причем работа должна совершиться на коротком пути, чтобы
отклонением стержня можно было пренебечь - не дать стержню
отклониться, как требует условие.

Цитата:

А кинетическая вращения, уменьшаясь, постепенно переходит в потенциальную?

Да. И наоборот. Будут колебания.

Цитата:

То бишь это уравнение верно:
$\frac {J_c \omega_0^2} {2} \ = \ m_c \cdot g l$ ?

Оно верно, если пренебречь массой тела, а под $l$ подразумевать
максимальную высоту подъема центра тяжести стержня.
Но Вам нужно еще учесть массу тела, чтобы правильно найти угол отклонения.

(Оффтоп)

P.S. И хотя масса тела составляет около процента от массы стержня,
и физик-экспериментатор в некоторых случаях может махнуть на неё рукой,
физику-теоретику этого делать негоже.

[ramilguliev]

Почему же пренебречь? В левой части ур-я масса тела будет входить в момент инерции системы, а в правой - в массу системы.

[miflin]

ramilguliev в сообщении #547058 писал(а):

Почему же пренебречь? В левой части ур-я масса тела будет входить в момент инерции системы, а в правой - в массу системы.

Тогда нужно учесть смещение центра тяжести системы - он не будет
находиться в середине стержня. Думаю, что в правой части уравнения
проще рассматривать стержень и тело порознь.
Напишите это уравнение через исходные данные.

[ramilguliev]

Центр тяжести системы легко можно найти из системы ур-й:

$ \begin{cases} \frac {F_{\text{т ст}}} {F_{\text{т тела}}} = \frac {a} {b}\\ a+b = h - L/2 \end{cases} $,

где a - расстояние от центра тяжести системы до тела, b - расстояние от центра тяжести системы до середины стержня, h - расстояние от точки подвеса до тела, ну а L - длина стержня.

Получается, из системы ур-й я найду расстояние от точки подвеса до ц.т.с., а из ур-я З.С.Э. я найду расстояние от "земли" до ц.т.с., ну а потом с легкостью найду угол отклонения. Разве не так? Вот только по моим расчетам, получается, что ц.т.с. расположен на расстоянии девяти десятых миллиметра от центра стержня.

[ramilguliev]

Все, кажется разобрался - помог задачник Чертова, где есть разбор подобной задачи.

Получается, что в правой части ур-я З.С.Э. высота l будет равна расстоянию от точки подвеса до ц.т.с. минус это же расстояние, умноженное на косинус искомого угла.

Спасибо Вам большое за помощь, miflin.