Разбиение единицы и паракомпактность

[FFFF]

Здравствуйте!
$X$- хаусдорфово. Если для любого открытого покрытия $X$ существует подчинённое ему разбиение единицы $\{f_\alpha\}$, то $X$ - паракомпактно. У Виро Нецветаева (18.Yx) написано, что доказательство очевидно, но я так сразу не понял: для паракомпактности требуется, чтобы во всякое открытое покрытие можно было вписать открытое локально конечное покрытие. Но носители $\{supp f_\alpha\}$ функций из разбиения единицы дают только замкнутое вписанное локально конечное покрытие. Посмотрел у Энгелькинга (лемма 5.1.8), там доказательство совсем не очевидно. Но у Энгелькинга не предполагается хаусдорфовость $X$. Вопрос: сильно ли облегчает жизнь хаусдорфовость, т.е. можно ли, например, взять в качестве искомого покрытия внутренности носителей?