Неравенство с параметром

[Twidobik]

Такое задание, над ним думаю второй день, никак не пойму нескольких моментов:
Найдите все значения параметра а, при которых единственное число Х является решением неравенства $2x - {x^2} + \left| {{x^2} - 4x - 5} \right| \leqslant \left| {2x - a} \right|$

Черчу графики левой и правой части. Примерно представляю, где график модуля выше другого графика, но никак не могу понять, что значит условие "единственное число Х является решением". Как это условие перенести на графическое решение?

[ewert]

Если Вы действительно нарисовали, то не можете не видеть: только одна общая точка возможна лишь тогда, когда уголок правой части неравенства либо касается одной из своих сторон параболической части графика левой части, либо упирается своим клювиком в пересечение параболы с горизонтальной осью. Начните с проверки первого варианта, и если он не пройдёт -- значит, второй.

[Twidobik]

Если он будет упираться в пересечение параболы с горизонтальной осью, то будет пересекать ее еще в других точках, значит, этот вариант не подходит.

Ответ у этой задачи 13 (посмотрел в ответах). Значит, вершина графика модуля в точке 6,5. Левая ветвь модуля проходит через точку (1,5; 10), а вершина параболической части (1,5; 9,5), то есть, касания нет. Судя по графику, касания ниже тоже нет. Вроди как я получил такие результаты. У меня ошибка или в ответе?

Правильно ли я понял, чтобы выполнялось поставленное условие, график модуля должен быть выше (больше) другого графика и касаться его в одной точке??

[Shadow]

Для всех $x\ge 5$ неравенство выполняется независимо от параметра а, т.к левая часть стого меньше 0, а правая - модуль.

[Twidobik]

Таааак... И что это значит? Что то туплю видимо сильно. Что Х должен быть тогда меньше 5?

[ewert]

Twidobik в сообщении #546866 писал(а):

Если он будет упираться в пересечение параболы с горизонтальной осью, то будет пересекать ее еще в других точках,

Это не так очевидно -- там корни плохие. Проще убедиться в том, что касание возможно -- тогда вариант с упиранием автоматически отпадает.

Twidobik в сообщении #546866 писал(а):

Левая ветвь модуля проходит через точку (1,5; 10), а вершина параболической части (1,5; 9,5), то есть, касания нет.

А почему Вы решили, что касание будет именно в вершине, хотя подобное очевидно невозможно?

Да, кстати: 13 -- это правильный ответ.

[Twidobik]

Ого... Но ведь кроме того, параболическая часть проходит через точки (3;5) и (5;-15), а ветвь модуля проходит выше... А левая ветвь модуля еще и параллельна части прямой. Как тогда подскажите найти это касание?

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #546854 писал(а):

Найдите все значения параметра а, при которых единственное число Х является решением неравенства $2x - {x^2} + \left| {{x^2} - 4x - 5} \right| \leqslant \left| {2x - a} \right|$

Очень простой способ --- зарисовать это неравенство в плоскости $(x,a)$. Граница области состоит из кусков парабол, чего ж ещё желать. Проще разве что многоугольная область (так было бы, если б не было квадратов).

[ewert]

Twidobik в сообщении #546878 писал(а):

Как тогда подскажите найти это касание?

Как и в параллельной задачи: потребовать, чтобы одна из сторон уголка именно касалась параболы, т.е. чтобы дискриминант соотв. уравнения оказался нулевым. После чего ещё кое-что проверить.

-- Сб мар 10, 2012 16:34:24 --

nnosipov в сообщении #546881 писал(а):

Граница области состоит из кусков парабол,

Ну не преувеличивайте.

[Twidobik]

То есть, ${x^2} - 4x - 5 = 2x - a$ ??
Но это касание. Ведь уголок может касаться части параболы и быть меньше другого графика, а нам надо, чтобы был одновременно больше. Как соблюсти это условие?

Наверно все же так ${x^2} - 4x - 5 = \left| {2x - a} \right|$

[nnosipov]

ewert в сообщении #546887 писал(а):

Ну не преувеличивайте.

Отрезки тоже могут быть, но рисовать просто лень. Пусть ТС потренируется, небесполезно ему будет.

[Twidobik]

Я с радостью все нарисую, только бы понять как. Если чертить в указаной Вами плоскости, то ведь график левой части не изменится, просто вместо Y cтанет A. А график правой части...прямая, кусок прямой?

[ewert]

Twidobik в сообщении #546891 писал(а):

То есть, ${x^2} - 4x - 5 = 2x - a$ ??

Это один из вариантов. Не стесняйтесь, доводите оба варианта до конца и потом смотрите в каждом из них, реализуется ли эта точка касания именно для графика модуля и не появится ли где-нибудь лишних точек пересечения.

[Twidobik]

Ирония. Я получил а=14, а ответ 13. Что я делаю опять не так

[ewert]

Twidobik в сообщении #546904 писал(а):

Что я делаю опять не так

Я в тот раз не обратил внимания: Вы просто пару слагаемых потеряли.