Как доказать, что ряд расходится?

[Ktina]

Сходится ли ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}}}$?

Я думаю, что расходится, так как его общий член стремится к общему члену гармонического ряда. Но ведь такое соображение не является доказательством?
Мне известны только признак д’Артаньяна д’Аламбера и радикальный признак Коши, но либо они здесь не применимы, либо я не сумела грамотно их применить.
Зато имею готовность думать на всех пара́х.
Пожалуйста, помогите разобраться.
Заранее благодарна!

[Padawan]

Ktina в сообщении #546445 писал(а):

Сходится ли ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}}}$?
Я думаю, что расходится, так как его общий член стремится к общему члену гармонического ряда.

Если $a_n,b_n>0$ и $\frac{a_n}{b_n}\to 1$, то ряды $\sum_n a_n$ и $\sum_n b_n$ сходится или расходится одновременно.

[Ktina]

Padawan в сообщении #546449 писал(а):

Если $a_n,b_n>0$ и $\frac{a_n}{b_n}\to 1$, то ряды $\sum_n a_n$ и $\sum_n b_n$ сходится или расходится одновременно.

То есть, если вместо $a_n$ взять гармонический ряд, а вместо $b_n$ взять ряд, данный в задаче, то всё получается. Я права?
А Ваше правило можно использовать as is, или его доказывать надо?

[number_one]

Дык енто предельный признак сравнения зовется)

[Ktina]

number_one в сообщении #546453 писал(а):

Дык енто предельный признак сравнения зовется)

Нашла: http://xplusy.isnet.ru/Files/Files_rjadi/Priznaki.pdf
Спасибо!

[Dan B-Yallay]

(общий член стремится к общему члену гармонического ряда)

Ktina в сообщении #546445 писал(а):

. Но ведь такое соображение не является доказательством?

начиная с некоторого номера:

$$ \dfrac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}}=\dfrac{1}{n\sqrt[n]n} > \dfrac 1 {2n} \hspace{20pt}(\sqrt[n]n \to 1)$$