Исследовать существование предела в точке функции двух пер.

[Alex_Mi]

Дана задача:
Исследовать существование предела в точке $O(0,0)$ функции $f(x,y)=\frac{1-\cos\sqrt[3]{|x|^3+|y|^5}}{\sqrt[3]{x^4+y^4}}$

Думаю, что предел в точке $O(0,0)$ существует и равен нулю.

Что делал:
1) Попробовал разложить $\cos$ по Тейлору, но получилось как-то не очень.
2) Преобразовал $1-\cos\sqrt[3]{|x|^3+|y|^5}$ в $2\left(\sin\frac{\sqrt[3]{ (|x|^3+|y|^5)^2}}{2} \right)^2$, где видно что $0\eqslantless\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}\frac{2\left(\sin\frac{\sqrt[3]{ (|x|^3+|y|^5)^2}}{2} \right)^2}{\sqrt[3]{x^4+y^4}}$, но как дальше преобразовать неравенство, чтобы справа была такая функция (пусть $g(x,y)$), чтобы $0\eqslantless\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}\frac{2\left(\sin\frac{\sqrt[3]{ (|x|^3+|y|^5)^2}}{2} \right)^2}{\sqrt[3]{x^4+y^4}}\eqslantless\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}g(x,y)$ , где $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}g(x,y)=0$ ?

[ewert]

Alex_Mi в сообщении #546293 писал(а):

1) Попробовал разложить $\cos$ по Тейлору, но получилось как-то не очень.

Правильно пытались. Только нужна не сама формула Тейлора, а вытекающая из неё оценка. Вполне достаточно того, что, если $r=\sqrt{x^2+y^2}$, то в любой достаточно маленькой окрестности аргумент косинуса оценивается (с некоторым постоянным множителем) сверху через $r$, в то время как знаменатель -- снизу через $r^{4/3}$ (опять же с некоторой константой).

[Alex_Mi]

Немного не понял.

При разложении получал такое:
$\frac{1}{2}\sqrt[3]{\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}\frac{(|x|^3+|y|^5)^2}{x^4+y^4}}+\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}\frac{o(|x|^3+|y|^5)}{\sqrt[3]{x^4+y^4}}$, но в этом случае я не могу точно сказать, что за предел в точке $O(0,0)$.

[ewert]

Из формулы Тейлора: $1-\cos z=\frac{z^2}2+o(z^2)$ следует, например, что $|1-\cos z|=1-\cos z\leqslant z^2$ при всех достаточно маленьких $z$. Причём эта оценка точна по порядку (не по константе, конечно) и, значит, разумна, раз уж мы собираемся доказывать, что предел равен именно нулю. Дальше -- элементарные оценки тех двух корней через $\sqrt{x^2+y^2}$.