Сколько бесподобных чисел могут идти подряд?

[Ktina]

Одна школьница © называет натуральное число бесподобным, если в его разложении на простые множители каждый множитель входит в степени с показателем, равным факториалу некоторого натурального числа (не обязательно одного и того же). Например, 12 - бесподобное число, так как равно $2^{2!}\cdot 3^{1!}$.

а) Какое наибольшее количество бесподобных чисел может идти подряд?

б) Какое наибольшее количество бесподобных чисел может идти через одно?

[hippie]

а) Ответ: 15.

Пример: от 57 до 71;
Доказательство оценки: одно из 16 последовательных чисел даёт остаток 8 при делении на 16.

(Оффтоп)

Впрочем, существование бесподобных чисел вопрос спорный, поскольку 0 не является факториалом никакого числа.

[MrDindows]

hippie в сообщении #546171 писал(а):

а) Ответ: 15.

Пример: от 57 до 71;
Доказательство оценки: одно из 16 последовательных чисел даёт остаток 8 при делении на 16.

(Оффтоп)

Впрочем, существование бесподобных чисел вопрос спорный, поскольку 0 не является факториалом никакого числа.

(Оффтоп)

Но в условии сказано про разложение на простые множители, а нулевая степень любого числа, то есть единица, не является простым числом, соответственно и простым множителем=)

[hippie]

MrDindows в сообщении #546172 писал(а):

hippie в сообщении #546171 писал(а):

а) Ответ: 15.

Пример: от 57 до 71;
Доказательство оценки: одно из 16 последовательных чисел даёт остаток 8 при делении на 16.

(Оффтоп)

Впрочем, существование бесподобных чисел вопрос спорный, поскольку 0 не является факториалом никакого числа.

(Оффтоп)

Но в условии сказано про разложение на простые множители, а нулевая степень любого числа, то есть единица, не является простым числом, соответственно и простым множителем=)

(Оффтоп)

Единица не простое число, но степень (нулевая) простого числа. И это часто используется в теоремах о разложении натуральных чисел на простые множители.
Например:
Целое положительное число $n$ кратно целому положительному числу $m$ в том и только том случае, если каждое простое число входит в разложение числа $n$ на простые множители не в меньшей степени, чем в разложение числа $m.$
Если отказаться от нулевых степеней, то это уже не выполняется.

-- 08.03.2012, 02:49 --

б)
Если нигде не обсчитался, то подходят 53 числа от 677 до 781.
Больше быть не может, поскольку среди 54 чисел, идущих с равным шагом, обязательно найдётся кратное $3^3,$ но не кратное $3^6.$

[Ktina]

hippie в сообщении #546171 писал(а):

Впрочем, существование бесподобных чисел вопрос спорный, поскольку 0 не является факториалом никакого числа.

В таком случае, и эта задача некорректна: http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=116484 , а я с неё коммуниздила.

[hippie]

И Ваша задача и исходная корректны.
Разложение на простые множители можно рассматривать двумя способами:
Конечное, в котором произведение берётся только по простым множителям, которые входят в разложение в положительной степени;
Бесконечное, в котором произведение берётся по всем простым числам, но показатели — неотрицательные целые числа (в т.ч. и 0).
Обычно рассматривается именно первое определение (в котором нулей быть не может!).
Но второе определение очень часто удобнее. Поэтому я обычно пользуюсь именно вторым. На это я и намекал в оффтопике.

(Оффтоп)

С 8 Марта!

[Ktina]

hippie в сообщении #546268 писал(а):

(Оффтоп)

С 8 Марта!

(Оффтоп)

Ой, спасибо огромное!