Не понимаю док-во в Мендельсоне (теория множеств)

[Sonic86]

Автор обозначает классы большими латинскими буквами, а множества - малыми латинскими. В главе 4 с.178 автор пишет

Цитата:

Определение. $M(X)$ служит сокращением для $\exists Y (X\in Y)$ ($X$ есть множество)

Далее, на с. 179:

Цитата:

иными словами $\forall x \mathcal{A}(x)$ означает $\forall X(M(X)\to\mathcal{A}(x))$, ..., и $\exists x \mathcal{A}(x)$ означает $\exists X(M(X)\&\mathcal{A}(x))$

и потом на с.184 в конце доказательства предложения 4.4. уже пишет

Цитата:

...замечая, что $\forall x \psi (x)$ эквивалентно $\neg\exists x\neg\psi (x)$

(это он так определял формулы с квантором существования выше)
Но ведь $\forall x \psi (x)\leftrightarrow\forall X(M(X)\to\psi(X))$, а $\neg\exists x\neg\psi (x)\leftrightarrow\forall X(M(X)\&\psi(X))$ - формулы неэквивалентны.
В чем я ошибаюсь?

[Joker_vD]

Вы как-то странно продавливаете отрицание внутрь формулы:

$$\neg\exists x \neg\psi(x) \equiv \neg\exists X (M(X) \& \neg\psi(X)) \equiv \forall X \neg(M(X) \& \neg\psi(X)) \equiv \forall X (\neg M(X) \vee \psi(X)) \equiv \forall X (M(X)\to \psi(X))$$

(Оффтоп)

И да, разный регистр у икса в пределах одной формулы — это мощно.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #545883 писал(а):

И да, разный регистр у икса в пределах одной формулы — это мощно.

Ой! Исправлю сейчас...

Joker_vD в сообщении #545883 писал(а):

Вы как-то странно продавливаете отрицание внутрь формулы:

$$\neg\exists x \neg\psi(x) \equiv \neg\exists X (M(X) \& \neg\psi(x)) \equiv \forall X \neg(M(X) \& \neg\psi(x)) \equiv \forall X (\neg M(x) \vee \psi(x)) \equiv \forall X (M(x)\to \psi(x))$$

Ага, типа не $\exists x \neg(\mathcal{A}(x))$, а $\exists x(\neg\mathcal{A})(x)$.
Сейчас попробую понять...

А, понял, я же не $\psi$ подставляю, а все с квантором.

Спасибо!