1+2+3+...=-1/12

[Lesobrod]

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_·_·_·
Ранее уже сталкивался с этим "парадоксом".
В книге Титчмарша "Теория Дзета-функции Римана" очень доступно рассмотрен вопрос о её аналитическом продолжении.
Несколькими эквивалетными способами $\zeta (s)$ можно определить для всех $s \neq 1$
и получить частные значения, например $\zeta(-1)=-1/12$.

Мне всегда казалось, что это значение не имеет никакого отношения к сумме ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$,
который представляет Дзета-функцию при $Re s>1$. Между тем, всё оказалось не так просто.
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization
http://arxiv.org/pdf/hep-th/9308028v1.pdf
Мне, как человеку с физическим складом ума, это не понятно.
Можно ли хоть как-то наглядно осмыслить такой "результат" суммирования?

[Sonic86]

Об обобщенном суммировании (в общем + метод средних Чезаро + метод Абеля + еще много всего) можно прочесть в Фихтенгольце во 2-м томе. Довольно просто и понятно.

[Lesobrod]

Спасибо, прочитал. Ну, что касается знакопеременных рядов,
то это как раз математикам надо доказать, что $1-1+1-1+...=1/2$, простым рабочим это и так ясно

А вот для $1+2+3+4+...$, похоже, ни один из классических
методов не даёт даже символически конечной суммы. Только через Дзета-функцию, что для меня уж слишком символически...

-- Вт мар 06, 2012 11:56:01 --

Вот здесь гораздо теплее:
http://math.stackexchange.com/questions ... 9811#39811

[Sonic86]

Прошу прощенья, я глупость написал.
Действительно этот ряд по Абелю не суммируется! Пойду сам почитаю...

upd: верно ли, что если ряд суммируем по Абелю, то он суммируем с помощью дзета-функции, причем к тому же значению или нет?

[hippie]

Lesobrod в сообщении #545738 писал(а):

А вот для $1+2+3+4+...$, похоже, ни один из классических методов не даёт даже символически конечной суммы. Только через Дзета-функцию.

Никаким регулярным линейным транслятивным методом этот ряд не может быть просуммирован.

Предположим, что этот ряд суммируется к некоторой сумме $S.$
Вследствие транслятивности

$$(1+2+3+4+5+6+\dots) = (0+1+2+3+4+5+\dots) = (0+0+1+2+3+4+\dots).$$

Вследствие линейности

$$0 = S-2S+S = (1+2+3+4+5+6\dots)-2(0+1+2+3+4+5\dots)+(0+0+1+2+3+4+\dots)=$$

$$=(1-2\cdot0+0)+(2-2\cdot1+0)+(3-2\cdot2+1)+(4-2\cdot3+2)+(5-2\cdot4+3)+(6-2\cdot5+4)+\dots=1+0+0+0+0+0+\dots$$

Вследствие регулярности

$$1+0+0+0+0+0+\dots=1.$$

Таким образом

$$0=1.$$

[Lesobrod]

Sonic86 в сообщении #545741 писал(а):

верно ли, что если ряд суммируем по Абелю, то он суммируем с помощью дзета-функции, причем к тому же значению или нет?

О, это по-моему в конце Титчмарша есть, еще не дошёл...
А вообще осознал вот такую триаду:

- Суммирование по Рамануджану(http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation),
- Классические методы "по Фихтенгольцу"))) ,
- С помощью дзета-функции

Вот здесь
http://mathoverflow.net/questions/64898 ... trong-is-t
по ходу доказывается, что для ряда, определяющего дзета-функцию, первый и третий методы равносильны везде, кроме 1.
Причём метод Рамануджана даёт и значение в 1 (гармонический ряд), равное $\gamma$.
И вот вижу отличный ответ hippie. Получается, что
я классическими называл регулярные линейные транслятивные методы.

Итак, доказано, что при $s=-1$ остаются также только первый и третий, значения которых совпадают и дают $-1/12$

-- Вт мар 06, 2012 14:48:52 --

Остались два вопроса.
1. Что "классические" методы говорят о гармоническом ряде?
2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами,
и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?

[Sonic86]

Lesobrod в сообщении #545796 писал(а):

2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами,
и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?

Я сильно не думал, но тут получается, что доказательство hippie применимо к любым последовательностям, удовлетворяющим некоторому линейному однородному линейному уравнению (здесь $a_n=n$ удовлетворяет $\Delta ^2 a_n =0$).

А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.
Я пока понял, что есть последовательности, не суммируемые дзета-функцией и по Абелю, суммируемые только одним методом. Хочу подобрать последовательность, суммируемую обеими способами, но торможу.

[hippie]

Lesobrod в сообщении #545796 писал(а):

2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами, и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?

Нет!
Насколько я знаю, существуют РЛТ методы, которыми суммируется, например, ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}2^k=-1.$ (В крайнем случае такой метод можно создать искусственно, специально для суммирования этого ряда . При этом его сумма будет равна $-1.$)

О гармоническом ряде точно сказать не могу. Но интуитивное ощущение такое, что этот ряд может быть просуммирован некоторыми методами, причём разные методы могут приводить к разным значениям суммы.

[Lesobrod]

Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):

А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.

Эээ не уверен ..Более того, см. стр.414, раздел 425, п.4.
Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.
Я не утверждаю, что доказательство hippie не верно, но, действительно, "транслятивность" надо проверить!

[hippie]

Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):

Я сильно не думал, но тут получается, что доказательство hippie применимо к любым последовательностям, удовлетворяющим некоторому линейному однородному линейному уравнению (здесь $a_n=n$ удовлетворяет $\Delta ^2 a_n =0$).

Вы абсолютно правы! Главное условие здесь — некоторая линейная комбинация исходного ряда и его сдвигов, с нулевой суммой коэффициентов, — сходящаяся последовательность с ненулевой суммой. Других примеров заведомо несуммируемых (никаким РЛТ методом) рядов я не знаю.

Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):

А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.

Термин "транслятивность" я взял из "Математической Энциклопедии" (т.5, ст.417). (Именно по "МЭ" я знакомился с методами суммирования расходящихся рядов, поэтому и терминологию использую соответствующую.)
Транслятивность метода означает, что ряд $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\dots$ суммируем данным методом к сумме $S$ в том и только том случае, если ряд $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+\dots$ суммируем тем же методом к сумме $S+a_0.$

-- 06.03.2012, 18:14 --

В случае бесконечного в обе стороны ряда транслятивность означает, что $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_k \equiv \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_{k+1}.$

[Lesobrod]

hippie в сообщении #545862 писал(а):

О гармоническом ряде точно сказать не могу. Но интуитивное ощущение такое, что этот ряд может быть просуммирован некоторыми методами, причём разные методы могут приводить к разным значениям суммы.

Да, возможно. Тем более, если степени двойки как-то суммируются!
Но еще раз хочу обратить внимание на ссылку на mathoverflow,
и продублировать

$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-z}=\zeta(z)-\frac1{z-1}(\mathfrak{R}),\quad z\ne1. $$

Если доказательство не верно, надо его опровергнуть.
Думаю, автор будет не против
(Да, ну и конечно, надо еще использовать асимптотику

$$\zeta(s)=\frac{1}{s-1} +\gamma + \mathit{O}(\left\vert s-1\right\vert)$$

(16) со страницы 23 Титчмарша).
Но я очень уважаю Рамануджана, (а предлагается прямое следование его методу).
Так что $\gamma$ как сумма гармонического ряда выглядит очень привлекательно)))

[Sonic86]

Lesobrod в сообщении #545865 писал(а):

Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.

hippie в сообщении #545870 писал(а):

Транслятивность метода означает, что ряд $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\dots$ суммируем данным методом к сумме $S$ в том и только том случае, если ряд $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+\dots$ суммируем тем же методом к сумме $S+a_0.$

Спасибо, буду знать.
С другой стороны как бы логично выглядит Например, методы Чезаро и Абеля - транслятивные.

Lesobrod в сообщении #545865 писал(а):

Эээ не уверен ..Более того, см. стр.414, раздел 425, п.4.
Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.

А тут не произвольно, тут добавляется конечное число слагаемых строго слева.

hippie в сообщении #545870 писал(а):

Главное условие здесь — некоторая линейная комбинация исходного ряда и его сдвигов, с нулевой суммой коэффициентов, — сходящаяся последовательность с ненулевой суммой.

Еще, кажется, надо добавить условие, что разностное уравнение имеет перед $\Delta ^0 a_n$ нулевой коэффициент (иначе мы так находим сумму ряда - именно так получается с $a_n = (-1)^n$), а получаемый сходящийся ряд имеет ненулевую сумму (иначе просто получим $0=0$ при попытке вывести противоречие).

-- Вт мар 06, 2012 16:49:12 --

Lesobrod в сообщении #545874 писал(а):

Но еще раз хочу обратить внимание на ссылку на mathoverflow,
и продублировать

$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-z}=\zeta(z)-\frac1{z-1}(\mathfrak{R}),\quad z\ne1. $$

Если доказательство не верно, надо его опровергнуть.

Я там что-то эту формулу не вижу А вообще тут слева стоит $\zeta (z)-1$

[Lesobrod]

http://mathoverflow.net/questions/64898 ... trong-is-t
В самом низу, крупным шрифтом, типа наиболее авторитетный ответ.
А вот с нижней границей суммирования, правда, чего-то непонятно...