Доказать гомеоморфность

[bundos]

Доказать, что $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\approx\mathbb{R}^n\times\mathbb{S}^{m-1}$.

[Someone]

А там не надо конкретизировать вложение $\mathbb S^{n-1}\subset\mathbb S^{n+m-1}$?

[bundos]

Считается, что $\mathbb S^{n-1}$ располагается в $\mathbb S^{n+m-1}$ стандартно. Вы об этом? Я просто не понимаю, что означает стандартность.

[Someone]

Могу высказать предположение, что имеется в виду следующее. Рассмотрим $\mathbb R^{n+m}$. Координаты в нём обозначим $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m$. Тогда стандартную сферу $\mathbb S^{n+m-1}$ можно определить уравнением $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2+y_1^2+y_2^2+\ldots+y_m^2=1$, а вложенная в неё сфера $\mathbb S^{m-1}$ выделяется дополнительными уравнениями $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

[bundos]

А если не уточнять вложение $\mathbb S^{n-1}\subset\mathbb S^{n+m-1}$ может случится так, что $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\not\approx\mathbb{R}^n\times\mathbb{S}^{m-1}$?

[Someone]

Может, я думаю. Если $\mathbb S^{n-1}$ завязана узлом каким-нибудь.

[bundos]

Someone, пусть $\mathbb S^{n-1}$ располагается в $\mathbb S^{n+m-1}$ стандартно в том смысле как Вы определил. Как тогда гомеоморфность доказать?

[bundos]

Нужно как-то показать, что $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\approx D^n\times\mathbb{S}^{m-1}$, $D^n$- открытый шар единичного радиуса в $\mathbb{R}^n$. Тогда, т.к. $D^n\approx\mathbb{R}^n$, то и произведения $\mathbb{R}^n\times\mathbb{S}^{m-1}$ и $D^n\times\mathbb{S}^{m-1}$ с тихоновской топологией также гомеомофны. $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\approx D^n\times\mathbb{S}^{m-1}$ вроде кажется попроще с виду, но всё равно не понятно как доказывать.

[alcoholist]

Сначала покажите, что $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\simeq\mathbb{R}^{n+m-1}\setminus\mathbb{R}^{n-1}$, дальше -- координаты

[bundos]

С исходным заданием я разобрался. $x\in\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}$. $f(x)=\left(x_1,\ldots ,\ldots x_n, \frac{x_{n+1}}{\sqrt{1-x_1^2-\ldots -x_n^2}},\ldots ,\frac{x_{n+m}}{\sqrt{1-x_1^2-\ldots -x_n^2}}\right)$- гомеоморфизм. А какой в случае $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\simeq\mathbb{R}^{n+m-1}\setminus\mathbb{R}^{n-1}$ гомеоморфизм подобрать?

[alcoholist]

bundos в сообщении #546495 писал(а):

А какой в случае $\mathbb{S}^{n+m-1}\setminus\mathbb{S}^{n-1}\simeq\mathbb{R}^{n+m-1}\setminus\mathbb{R}^{n-1}$ гомеоморфизм подобрать?

Представьте себе малоразмерную сферу как $\mathbb{R}^{n-1}\cup\{point\}$ и теперь

$$ S^{n+m-1}\setminus(\mathbb{R}^{n-1}\cup\{point\})\simeq (S^{n+m-1}\setminus\{point\})\setminus\mathbb{R}^{n-1}\simeq\mathbb{R}^{n+m-1}\setminus\mathbb{R}^{n-1} $$