Тело вращения, площадь. Площадь,огранич. синусом и косинусом

[number_one]

1) Найти площадь поверхности тела вращения $y^2=4-x$ и $x=0$ вокруг оси $y$

Правильно ли я записал формулу?

$x(y)=4-y^2$

$S=\displaystyle\int_a^bx(y)\sqrt{1+\big(x'(y)\big)^2}dy$

$S=\displaystyle\int_{-2}^2(4-y^2)\sqrt{1+\big(-2y\big)^2}dy$

Если правильно, то как лучше брать этот интеграл?

2) Найти площадь, ограниченную

$y=\sin x$

$y=\cos x$

$x\in[0,\pi]$



Нужно считать и розовую, и зеленую площади? Если так, то вот такие формулы?

$S=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin x dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin x dx+\displaystyle\int^{\pi/2}_{\pi/4}\sin x dx+\displaystyle\int^{\pi/4}_{\pi}(\sin x-\cos x) dx$

[number_one]

Все больше и больше начинает казаться, что нужно было считать только зеленую площадь. Прав ли я?

[Shadow]

1. Всегда неприятно, когда меняют х на у и у на х
2. Мне кажется, что площадь поверхности тело вращения - интегральная сумма длин окружностей, а у вас как-то по другоми. Т.е
$S=\int \limits_{-2}^2 2\pi x(y)dy$
Т.е сумма площадей поверхности цилиндров с маленькой маленькой высотой

[number_one]

Shadow в сообщении #545381 писал(а):

1. Всегда неприятно, когда меняют х на у и у на х
2. Мне кажется, что площадь поверхности тело вращения - интегральная сумма длин окружностей, а у вас как-то по другоми. Т.е
$S=\int \limits_{-2}^2 2\pi x(y)dy$
Т.е сумма площадей поверхности цилиндров с маленькой маленькой высотой

Спасибо.
Да, я тоже не люблю менять $x$ на $y$. Но я лишь такую формулу знаю, какую посмотрел в этом видео
(там она сразу видна, даже если не смотреть видео)
http://www.youtube.com/watch?v=dQXb0bWY ... r_embedded

Если заменить $x$ на $y$ -- то именно так и получится, как у меня.

Однако, ваша формула гораздо проще выглядит и интеграл простой.

Неужели можно так, как вы предложили?

[Shadow]

Не знаю. Кажется я не прав. Но пи присуствует в любом случае.

-- 04.03.2012, 23:18 --

Да, я не прав. Игнорируйте мое сообщение.

[number_one]

Правильно ли я понимаю, что тело вращения выглядит примерно так? то есть похоже ли оно на одну из таких штучек?



-- 05.03.2012, 00:24 --

[spaits]

number_one в сообщении #545345 писал(а):

2) Найти площадь, ограниченную

Розовая площадь как раз не находится между двумя функциями, на этом интервале между функциями находится белая площадь выше розовой. И формулы у Вас неверные.
Последний интеграл похож, но Вы перепутали знак. Площадь ведь равна модулю интеграла, а написанное значение последнего интеграла отрицательно. А на интервале $[0;\frac{\pi}{4}]$ - полная несуразица.

[number_one]

Спасибо. Вот так?


$S=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\big|\sin x-\cos x\big| dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}(\cos x-\sin x) dx+\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}(\sin x-\cos x) dx$

[spaits]

number_one в сообщении #545489 писал(а):

Спасибо. Вот так?


$S=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\big|\sin x-\cos x\big| dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}(\cos x-\sin x) dx+\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}(\sin x-\cos x) dx$

Не совсем так, в точке пересечения графиков $x=\frac{\pi}{4}$, и доведите решение до конца.

[number_one]

spaits в сообщении #545497 писал(а):

Не совсем так, в точке пересечения графиков $x=\frac{\pi}{4}$, и доведите решение до конца.

Ок.

$$S=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\big|\sin x-\cos x\big| dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x) dx+\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin x-\cos x) dx=$$

$$=(\sin x+\cos x)\Big|_0^{\pi/4}-(\sin x+\cos x)\Big|_{\pi/4}^\pi=\sqrt 2-1-(-1-\sqrt 2)=2\sqrt 2$$

А как быть с площадью поверхности тела вращения?

[spaits]

number_one в сообщении #545345 писал(а):

1) Найти площадь поверхности тела вращения $y^2=4-x$ и $x=0$ вокруг оси $y$

Правильно ли я записал формулу?

$x(y)=4-y^2$

$S=\displaystyle\int_a^bx(y)\sqrt{1+\big(x'(y)\big)^2}dy$

$S=\displaystyle\int_{-2}^2(4-y^2)\sqrt{1+\big(-2y\big)^2}dy$

Если правильно, то как лучше брать этот интеграл?

Правильно. Брать - попробуйте замену.

[number_one]

spaits в сообщении #545598 писал(а):

Правильно. Брать - попробуйте замену.

Спасибо. Я сделал такую замену $t=1+4y^2$ и все хорошо получилось