Игроки и шары [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Добрый вечер!
Возникает трудность при решении такой задачи.
Из урны, содержащей $3$ белых шара, $5$ черных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Пусть $A_1=\{$выигрывает игрок, начавший игру$\}$. Найти $P\{A_1\}$.
Вот моя попытка решения:
Пусть B-черный шар, W-белый шар.
$A_1=W \cup BBW \cup BBBBW$ и отсюда получаем, что:
$P\{A_1=W \cup BBW \cup BBBBW\}=P\{W\}+P\{BBW\}+P\{BBBBW\}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{8 \cdot 7\cdot 6}+\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 3}{8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}=\dfrac{17}{28};$
А в книге ответ равен $83/210$
Скажите пожалуйста где у меня ошибка?

С уважением, Whitaker.

[svv]

У Вас правильно.
Их ответ $83/210=0.395...$ почти равен $3/8=0.375$, то есть вероятности того, что игрок, начавший игру, победит первым же ходом. Явная ошибка.

[Whitaker]

Здравствуйте svv!
Эта задача из книжки Зубкова-Севастьянова-Чистякова. Не верится, что у них ошибка.
А может все-таки у меня где-то ляп?

[PAV]

Whitaker
я проверил, ошибки у Вас не вижу.

[svv]

Для успокоения выпишем вероятности того, что белый шар впервые будет извлечен на $1,2...6$ ходу:

$$\begin{array}{l} \dfrac 3 8\\[0.1ex]\\ \dfrac 5 8\cdot\dfrac 3 7\\[0.1ex]\\ \dfrac 5 8\cdot\dfrac 4 7\cdot\dfrac 3 6\\[0.1ex]\\ \dfrac 5 8\cdot\dfrac 4 7\cdot\dfrac 3 6\cdot\dfrac 3 5\\[0.1ex]\\ \dfrac 5 8\cdot\dfrac 4 7\cdot\dfrac 3 6\cdot\dfrac 2 5\cdot\dfrac 3 4\\[0.1ex]\\ \dfrac 5 8\cdot\dfrac 4 7\cdot\dfrac 3 6\cdot\dfrac 2 5\cdot\dfrac 1 4\cdot\dfrac 3 3\end{array}$$

Сумма всех вероятностей равна $1$, в чем легко убедиться, складывая дроби снизу вверх.

[Whitaker]

Спасибо Вам большое PAV и svv

[Toucan]

Задача про 625 выделена в отдельную тему: «Теорвер: 3 различные цифры и число 625»