Два очень симпатичных уравнения в целых числах

[Ktina]

а) Решить уравнение $x^4+y^4-48xy=-79$ в целых числах $x, y$

б) Решить уравнение $5^x\cdot 7^y+4=3^z$ в целых неотрицательных числах $x, y, z$

[nnosipov]

а) Кривая-то ограниченная.

б) По модулю $3$ находим, что $x$ чётно. Если $y$ чётно, то слева сумма квадратов, а правая часть делится на $3$. Если $y$ нечётно, то слева $7a^2+4$, что не равно нулю по модулю $9$.

[hippie]

а)
Ответ: $(1;\ 2),\ (2;\ 1),\ (-1;\ -2),\ (-2;\ -1),\ (4;\ 5),\ (5;\ 4),\ (-4;\ -5),\ (-5;\ -4).$

Очевидно, что $x$ и $y$ меньше 7 (иначе левая часть положительна). Дальше — небольшой перебор.

[Ktina]

hippie в сообщении #544891 писал(а):

а)
Ответ: $(1;\ 2),\ (2;\ 1),\ (-1;\ -2),\ (-2;\ -1),\ (4;\ 5),\ (5;\ 4),\ (-4;\ -5),\ (-5;\ -4).$

Очевидно, что $x$ и $y$ меньше 7 (иначе левая часть положительна). Дальше — небольшой перебор.

Даже очень небольшой, если учесть, что обе неизвестные обязаны быть взаимопростыми, а также не могут обе быть нечётными. Странно, что такая задача предлагалась на английском отборе на международную олимпиаду (задача 2): http://www.bmoc.maths.org/home/sist-1988.pdf

-- 03.03.2012, 16:07 --

nnosipov в сообщении #544890 писал(а):

а) Кривая-то ограниченная.

Там две замкнутые кривые, очень похожие на два (куриных) яйца.

-- 03.03.2012, 16:13 --

nnosipov в сообщении #544890 писал(а):

б) По модулю $3$ находим, что $x$ чётно.

Не всегда.
Например, (1, 0, 2)

[nnosipov]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544893 писал(а):

Странно, что такая задача предлагалась на английском отборе на международную олимпиаду

Чего только не бывает. У Вас, помнится, была тема, где собирались совсем простые задачи, когда-то бывшие на олимпиадах высокого уровня (типа международной). Тема, по-моему, симпатичная. Вот и поместите эту задачку туда --- там ей самое место.

-- Сб мар 03, 2012 21:28:52 --

Ktina в сообщении #544893 писал(а):

Не всегда.

На самом деле, даже никогда, это я напутал, пардон. Это $z$ должно быть чётным, так как сравнение $4 \equiv 3b^2 \pmod{5}$ невозможно. Ну а дальше более-менее понятно.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #544896 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544893 писал(а):

Странно, что такая задача предлагалась на английском отборе на международную олимпиаду

Чего только не бывает. У Вас, помнится, была тема, где собирались совсем простые задачи, когда-то бывшие на олимпиадах высокого уровня (типа международной). Тема, по-моему, симпатичная. Вот и поместите эту задачку туда --- там ей самое место.

(Оффтоп)

Не спорю, задача лёгкая, но, как говорится, своим умом приятно дойти даже до банальности.