Изометрии

[Bulinator]

Возник почти умный вопрос. (Исправьте пожалуйста, если заметите бред в формулировке вопроса)
Пусть у нас есть какое-нибудь расслоение
$M/F\simeq B$ с проекцией $f:M\mapsto B$. Пусть на M заданы координаты $q$ и метрика $G_{\mu\nu}$($\mu,\nu=1,\ldots,n,$, где $n$-размерность $M$). Так же заданы изометрии этой метрики $V_a:M\to TM$.

Далее, на многообразии $B$ существует каноническая метрика $g_{ik}$, такая, что $ds^2=G_{\mu\nu}dq_\mu dq_\nu=g_{ik}db_idb_k+g^{(f)}_{\alpha\beta}d(f_\alpha-A_\alpha)(f_\alpha-A_\beta)$.
Тут $A$-1-форма связности заданная на $B$, $g^{(f)}_{\alpha\beta}$-метрика на слое, $f$-координаты слоя, $b$-координаты базы.
Нас интересуют изометрии метрики $g_{ik}$. Понятно, что любая такая изометрия будет так же изометрией $M$. Есть ли какой-то стандартный метод получения вот этих вот изометрий из изометрий $V_a$ расслоенного пространства ?

[type2b]

Если суммировать ответ в двух словах, то: напишите уравнение Киллинга и посчитайте. Если более развернуто, то:
Во-первых, понимаете ли вы, что значат все буквы в вашей формуле? Если да, то почему вы складываете координаты и 1-формы? Вы предоставляете право исправить очепятки участникам форума? :))) Также для уменьшения путаницы здесь нужно отличать верхние и нижние индексы. Получается:

$$ ds^2=G_{\mu\nu}dq^\mu dq^\nu=g_{ik}db^idb^k+g_{\alpha\beta}^{(f)}(df^\alpha-A^\alpha)(df^\beta-A^\beta)\,.$$

Что эта формула значит? Вы вероятно знаете, что такое связность в главном расслоении. Там форма связности принимает значения в алгебре Ли, т.е. в касательном пространстве слоя. Здесь расслоение более общее. После того как мы правильно расставили индексы и перестали складывать формы с числами, мы видим, что форма связности принимает значения в касательном пространстве слоя. Что это такое? Как вы знаете, в главном расслоении форма связности задает горизонтальные подпространства в касательном пространстве расслоения, трансверсальные к касательным пространствам слоя. Короче говоря, связность нужна для того, чтобы определять горизонтальные векторы и т.о. параллельный перенос. В частности, если у вас есть вектор в расслоении, то вы можете его спроецировать на базу, т.к. у вас есть отображение проекции, а векторы едут в прямом направлении. Для этого связность не нужна. Теперь хотим наоборот: есть вектор на базе, хотим поднять его в расслоение, т.е. найти такой вектор в расслоении, который в проекции будет давать этот наш вектор на базе. Ясно, что это можно сделать многими способами. В локальной карте можно добавлять любой вектор, касательный к слою, и проекция не изменится. Поэтому тут нужна связность, она как раз и задает горизонтальные векторы и устраняет эту неопределенность.
Что означает ваша формула? Во-первых, в ней предполагается, что выбрана тривиализация, т.е. локально расслоение представлено как прямое произведение $U\times F, U\subset B$. При этом база вкладывается не как $({\rm pt\in F})\times U$, а как-то криво, а как именно -- определяется связностью. Подставим в метрику вектор, лежащий в слое, т.е. $v=v^\alpha\partial_{\alpha}$, получим $g^{(f)}_{\alpha\beta}v^\alpha v^\beta$, т.е. он действительно касателен к слою (длина вычисляется с помощью метрики слоя). Теперь подставим вектор, который в нашей локальной тривиализации лежит в базе, т.е. $v=v^i \partial_i$, получим $g_{ik} v^i v^k +g_{\alpha\beta}^{(f)}(0-A^\alpha_i v^i)(0-A^\beta_i v^i)$. Видим, что наша формула предполагает, что этот вектор не горизонтален, т.к. в вычисление длины его входит метрика слоя. А какой вектор наша связность будет считать горизонтальным? Такой, что $v^\alpha-A^\alpha_i v^i=0$. Т.е. форма связности говорит нам, что в нашей тривиализации к вектору на базе нужно добавить $v^{(f)}=A^\alpha_i v^i \partial_\alpha$, чтобы получить вектор, горизонтальный в расслоении. Это нужно понимать так, что мы двигаемся в расслоении вдоль базы, а слой сдвигается. Кстати, формой связности в случае главного расслоения и более общего расслоения обычно называют форму в самом расслоении, а не на базе. В нашей тривиализации полная форма связности будет $A^{full}=(df^\alpha - A^\alpha_i d x^i)\partial_\alpha$, и тогда горизонтальные векторы определяются так же, как и в главном расслоении, а именно как $Av=0$, но это так, к слову.
Теперь можно поговорить о том, как поднимать/опускать изометрии. Надо сказать, что ответа я не знаю. Ваше первое утверждение: изометрия метрики $g_{ik}$ будет изометрией метрики $G_{\mu\nu}$. Это, кажется, не всегда верно. Если вы поднимете векторное поле в расслоение так, что $v^\alpha=0$, то это даже не будет правильно преобразовываться между картами. Поэтому поднимать надо, например, в горизонтальное поле $(v^i, A^\alpha_jv^j)$. Будет ли оно изометрией? У вас есть явное выражение для метрики $G_{\mu\nu}$. Напишите для нее уравнение для вектора Киллинга и проверьте. Там есть кусок, который просто уравнение киллинга для базы, и есть много других кусков. Вообще говоря, изометрии не получится. Там вываливается уравнение на связность, которое, возможно, означает нулевую кривизну, и вот если оно выполняется, то есть шанс, что это изометрия. Соответственно и наоборот, если взять просто проекцию на базу векторного поля произвольной изометрии в расслоении, то изометрии базы не получится. Опять же, поэкспериментируйте с уравнением киллинга. Если изометрия горизонтальна, то выпадает опять условие на связность. Возможно, это все будет проще делать в конкретном примере, который вам нужен.

[alcoholist]

кто такой

Bulinator в сообщении #536061 писал(а):

изометрии этой метрики $V_a:M\to TM$

???

какие изометрии между пространствами разных размерностей?

Или это -- изометрическое вложение? Но тогда расслоение тривиально

[type2b]

очевидно, имелись в виду векторные поля, генерирующие изометрии. Они есть сечения $TM$, т.е. отображения $M\rightarrow TM$.

[Bulinator]

type2b в сообщении #544468 писал(а):

Во-первых, понимаете ли вы, что значат все буквы в вашей формуле?

Нет- я просто расставил набор букв в случайном порядке а Вы меня поняли.

type2b в сообщении #544468 писал(а):

Если да, то почему вы складываете координаты и 1-формы?

Я их не складывал а просто случайно пропустил одно $d$ а второе у меня вышло за скобку.

type2b в сообщении #544468 писал(а):

Возможно, это все будет проще делать в конкретном примере, который вам нужен.

В моем конкретном случае я просто угадал ответ и проверил, что он верный. Однако потом задумался об обобшении этого процесса и задал вопрос на форуме.

[alcoholist]

type2b в сообщении #544680 писал(а):

очевидно, имелись в виду векторные поля, генерирующие изометрии

Не понимаю... в.п. генерирует однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Имеется ввиду что они -- изометрии?

[bayak]

type2b в сообщении #544468 писал(а):

У вас есть явное выражение для метрики $G_{\mu\nu}$. Напишите для нее уравнение для вектора Киллинга и проверьте. Там есть кусок, который просто уравнение киллинга для базы, и есть много других кусков. Вообще говоря, изометрии не получится. Там вываливается уравнение на связность, которое, возможно, означает нулевую кривизну, и вот если оно выполняется, то есть шанс, что это изометрия. Соответственно и наоборот, если взять просто проекцию на базу векторного поля произвольной изометрии в расслоении, то изометрии базы не получится. Опять же, поэкспериментируйте с уравнением киллинга. Если изометрия горизонтальна, то выпадает опять условие на связность. Возможно, это все будет проще делать в конкретном примере, который вам нужен.

А выражение для связностей может быть произвольным, или оно как-то зависит от расслоения? Например, возьмём расслоение цилиндра с плоской метрикой, полученного из псевдоевклидовой плоскости таким отображением, в котором одна изотропная прямая плоскости отображается в одну из образующих цилиндра, а другая - на одну из задающих окружностей цилиндра. Как в этом примере вычисляются связности, если в качестве базы взять образующую или винтовую линию цилиндра?

[Bulinator]

alcoholist в сообщении #544791 писал(а):

Не понимаю... в.п. генерирует однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Имеется ввиду что они -- изометрии?

alcoholist, ну вспомните про вектора Киллинга.

-- Сб мар 03, 2012 14:40:11 --

bayak в сообщении #544800 писал(а):

А выражение для связностей может быть произвольным, или оно как-то зависит от расслоения?

Локально имеем координаты на расслоенном пространстве- $x$, на базе- $b$, на слое - $f$. Поекция $f:M\to B$(не путать с координатами слоя) задает вырожденное преобразование $q\to b$. Мы его можем дополнить до невырожденного $x\to(b,f)$ многими разными способами(которые от $b$ тоже зависят) и, собственно, для каждого из них, подставив в выражение элемента длины $ds^2=G_{\mu\nu}dq^\mu dq^\nu$, получим разную связность. Т.е. ответ получается такой: зависит, но как-то косвенно. (Что, видимо, означает, что вопрос не очень хороший получился )

[bayak]

type2b в сообщении #544468 писал(а):

Вы вероятно знаете, что такое связность в главном расслоении. Там форма связности принимает значения в алгебре Ли, т.е. в касательном пространстве слоя.

Предполагается, что слой это группа Ли. А если групповая структура слоя не задана, то как получить алгебраическую структуру формы связности? Может быть в этом случае алгебраическую структуру должны иметь касательные векторные поля расслоения?