Медленно сходящийся ряд

[Dave]

Последовательность $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ такова, что $b_1=\frac 1 8$ и при любом натуральном $n$:

$$b_{2n}=b_1b_{2n-1}+b_2b_{2n-2}+\dots+b_{n-1}b_{n+1}+\frac {b_{n}(b_{n}+1)} 2,$$

$$b_{2n+1}=b_1b_{2n}+b_2b_{2n-1}+\dots+b_nb_{n+1}.$$

Докажите, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится и найдите его сумму.

Примечание. Обратите внимание на границы суммирования. В частности, в выражении для $b_2$ остаётся только слагаемое $\frac {b_{1}(b_{1}+1)} 2$; $b_3=b_1b_2$ и т.д.

[hippie]

Ответ: $\frac 12.$

Пусть $S_n=\sum\limits_{k=1}^n b_n.$
Тогда $S_{n+1}\le\frac{S_n^2+S_n}2+b_1.$ Следовательно, если $S_n<\frac 12,$ то и $S_{n+1}<\frac 12.$ Поскольку $S_1=\frac 18 <\frac 12,$ то и все $S_n<\frac 12.$

Сумма ряда $S$ удовлетворяет уравнению $S=\frac {S^2+S}2+b_1,$ которое при $b_1=\frac 18$ имеет единственное решение $S=\frac 12.$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

При $0<b_1<\frac 18$ сумма ряда равна $\frac {1-\sqrt{1-8b_1}}2.$
При $b_1>\frac 18$ ряд расходится.

[Dave]

Последовательность $b_n$ интересна тем, что она, похоже, разбивается на счётное число последовательностей, эквивалентных гармоническому ряду (в пределе и с точностью до умножения на константу) и, тем не менее, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится. Не знаю, как это доказать, но компьютерный анализ показывает, что при любом натуральном $m$:

$$\lim_{i \to \infty} n_ib_{n_i}=C_m,$$

где $n_i=2^im$, причём константа $C_m$ всегда строго больше $0$. В частности, при $n_i=2^i$ мы наблюдаем что-то вроде локальных максимумов у последовательности $b_n$. А, как известно, весь натуральный ряд разбивается на бесконечное число таких последовательностей $n_i$, соответствующих нечётным $m$.