Как доказывать бесконечность простых вида n^2+1

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #543813 писал(а):

vicvolf в сообщении #543755 писал(а):

Сначала обратить внимание, что нечетные значения n нам не подходят, поэтому n=2k и надо доказать, что последовательность $4k^2+1$содержит бесконечное число простых чисел. Доказательство этого факта можно проводить от противного. Предположим, что количество простых чисел в данной последовательности конечно, тогда можно взять K равным произведению всех этих чисел ...и.т.д. придти к противоречию. Метод аналогичный теореме 339 в Бухштабе.

Ну естественно не получится потому, что простые вида $n^2+1$ не исчерпывают всех простых.

А с чего Вы взяли, что для доказательства это требуется? Посмотрите внимательно!

[nnosipov]

vicvolf, это же нерешённая проблема. Если бы всё было так просто, как Вам кажется, давно бы уже обнаружили. А рассуждением Евклида не удаётся даже доказать теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #543831 писал(а):

А с чего Вы взяли, что для доказательства это требуется?

Потому что Ваше произведение +1 не делится всего лишь на простые числа вида $k^2+1$. Но оно же может делится и на другие числа. На $3$ например. Соответственно, противоречие дальше не получается.

Еще добавлю частный случай общей формулы для гипотезы Буняковского для $f(k)=k^2+1$, которую я вытащил из одной статьи, которая хорошо согласуется с числом простых $k^2+1, k=1,...,n$, найденных вручную:

$$\sum\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} [k^2+1 \in\mathbb{P}] \sim \frac{C(f)}{\deg f} \int\limits_{2}^{N} \frac{dt}{\ln t},$$

где константа $C(f) = \prod\limits_{p\in \mathbb{P}} \frac{1-\frac{\omega (p)}{p}}{1-\frac{1}{p}}$, а $\omega (p) = N(f(x) \equiv 0 \pmod p)$ — число решений сравнения $f(x) \equiv 0 \pmod p$.
Для $f(k)=k^2+1$ число $C(f)$ легко вычислить явно.
Формула соответствует и теореме Дирихле. Интересно, является ли тот факт, что число простых для всех многочленов вычисляется по одной общей формуле свидетельством того, что есть некое общее доказательство бесконечности простых значений для всех неприводимых многочленов?

[serega57]

Sonic86 в сообщении #543842 писал(а):

vicvolf в сообщении #543831 писал(а):

А с чего Вы взяли, что для доказательства это требуется?

Потому что Ваше произведение +1 не делится всего лишь на простые числа вида $k^2+1$. Но оно же может делится и на другие числа. На $3$ например. Соответственно, противоречие дальше не получается.

На 3 неможет.



















На 3 неможет

[serega57]

vicvolf в сообщении #543831 писал(а):

Сначала обратить внимание, что нечетные значения n нам не подходят,

Это одно из самых распространёных здблуждений, нечётные эначения ох как влияют. Если-бы это было нетак то Sonic86 Вам нечего несмог-бы возразить.Дело в том что простые делители нечётных n будут и делитепями чётных.А Вы как я Вас понял их игнорируете жаль.