помогите доказать неравенство

[Hi4ko]

В 10 классе мы прошли неравенство Коши-Буняковского, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным. Т.е можно использовать только их.
Собственно, нужно доказать такое неравенство:
$x(x-z)^2+y(y-z)^2 \geqslant (x-z)(y-z)(x+y-z) ; x,y,z \geqslant 0$

Пробовал применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для $x(x-z)^2+y(y-z)^2$:
$x(x-z)^2+y(y-z)^2 \geqslant 2\sqrt{xy}(x-z)(y-z)$, но толку от этого мало(

Помогите, пожалуйста

[hippie]

А предварительно преобразовать неравенство можно?
Если да, то можно так:
Если к обеим частям неравенства прибавить $(-y)(y-z)(x+y-z)\ +\ (x-z)(-x)(x+y-z)\ +\ (-y)(-x)(x+y-z),$ то оно примет вид

$$xyz\ge (-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z).$$

Теперь, если один из множителей в правой части отрицательный, то левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна.
Если же все 3 множителя неотрицательны, то доказывается через неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

[Hi4ko]

hippie в сообщении #544214 писал(а):

А предварительно преобразовать неравенство можно?
Если да, то можно так:
Если к обеим частям неравенства прибавить $(-y)(y-z)(x+y-z)\ +\ (x-z)(-x)(x+y-z)\ +\ (-y)(-x)(x+y-z),$ то оно примет вид

$$xyz\ge (-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z).$$

Теперь, если один из множителей в правой части отрицательный, то левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна.
Если же все 3 множителя неотрицательны, то доказывается через неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Можете поподробнее расписать?