Вычислить предел (предолимпиадная разминка)

[Ktina]

Пусть $\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=3$

а) Чему равно $\frac{a^4+b^4}{a^4-b^4}+\frac{a^4-b^4}{a^4+b^4}$?

б) Найти предел $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a^{2^n}+b^{2^n}}{a^{2^n}-b^{2^n}}+\frac{a^{2^n}-b^{2^n}}{a^{2^n}+b^{2^n}}$
($n\in\mathbb N$)

[Sirion]

Итерационная формула Герона ^^

[nnosipov]

Ktina в сообщении #544124 писал(а):

Пусть $\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=3$

То есть $a=\pm b\sqrt{5}$.

[Ktina]

Sirion в сообщении #544156 писал(а):

Итерационная формула Герона ^^

nnosipov в сообщении #544192 писал(а):

Ktina в сообщении #544124 писал(а):

Пусть $\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=3$

То есть $a=\pm b\sqrt{5}$.

Можно и так, но есть более простой путь.

[hippie]

Обозначим $x_n:= \frac{a^{2^n}+b^{2^n}}{a^{2^n}-b^{2^n}}+\frac{a^{2^n}-b^{2^n}}{a^{2^n}+b^{2^n}}.$
Тогда $x_{n+1}=\frac {x_n}2+\frac 2{x_n}.$
Отсюда:
а) $\frac{a^4+b^4}{a^4-b^4}+\frac{a^4-b^4}{a^4+b^4}=x_2=\frac {313}{156};$
б) $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a^{2^n}+b^{2^n}}{a^{2^n}-b^{2^n}}+\frac{a^{2^n}-b^{2^n}}{a^{2^n}+b^{2^n}}=2.$