Вопрос про идеал

[Joker_vD]

Лихо. Но не совсем в ту степь. Вот скажите, если просто взять $f\colon R\to S$ — гомоморфизм колец, $I$ — идеал $R$, то будет ли $f(I)$ идеалом $S$? Подсказка — не обязательно.

[Unconnected]

Не вышло придумать контрпример.. то, что сумма и произведение будут в образе, это из гомоморфизма следует. А что ещё..

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #543114 писал(а):

Не вышло придумать контрпример..

$f\colon \mathbb Z\to \mathbb Q$, $f(n)=n$; является ли $f(2\mathbb Z)=\{2n\mid n\in\mathbb Z\}\subset \mathbb Q$ идеалом $\mathbb Q$?

[Unconnected]

Ааа, тю! Вот знал, что с умножением фигня, но гомоморфизм сбил с толку.. Ну тогда тут вообще никакого гомоморфизма нет, чтобы идеал в идеал.
Кстати,

Цитата:

Берем каноническое отображение $\pi\colon R\to R/I$, проверяем, что если $J$ — идеал $R$, то $\pi(J)$ — идеал $R/I$ (это неверно для случая произвольного гомоморфизма).

А если такое отображение, то почему для случая произвольного гомоморфизма неверно? Умножение определено так же, и элементы "те же"..

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #543223 писал(а):

то почему для случая произвольного гомоморфизма неверно?

Э, я там не точно выразился. Я имел, что если у нас $f\colon R \to S$, то $f(I)$ может и не быть идеалом $S$. В случае же канонического гомоморфизма $\pi\colon R\to R/I$ образ идеала всегда будет идеалом $R/I$.

Ну так что, докажете последнее утверждение?

[Unconnected]

Тогда, значит, проверяем сложение - получается, проверяем умножение: канонический гомоморфизм - сюрьективен (хотя бы потому, что всем без исключения черту пририсовывают). Значит, $f(ab)$, для всех $a \in R, b \in J^* = f(a) \cdot f(b)$, а других элементов в образе, в которые ничего не перейдёт, не будет, потому что сюрьективно.. я сначала призадумался - ведь надо доказать, чтоб произведение лежит в идеале? Но потом решил, что это как раз так идеал и строится.

[Joker_vD]

В целом верно (все держится на сюръективности), но опять же, неряшливо. Вы берете элементы из $J$, и делаете что-то с ними — ну и что? $J$ уже идеал по условию, а нам нужно $\pi(J)$ проверить, а для этого надо брать элементы из $\pi(J)$ и $R/I$ и сводить к ситуации для $J$ и $R$.

Unconnected, почему вы ленитесь честно взять и проверить, что у вас идеал? Забыли определение идеала? Или вы считаете, что уже отрастили себе достаточно мощную интуицию? Давайте, берите элемент из $\pi(J)$, элемент из $R/I$ и показывайте, что их произведение лежит в $\pi(J)$.

[Unconnected]

Ага, берём $\pi(b), r \in R / I, r\cdot \pi(b) = \pi(a)$ $\cdot \pi(b)$ (есть такой $a$, т.к. сюрьекция), $= \pi(ab), ab \in J$. У меня просто проблемы с пониманием, что когда надо доказывать, или не надо, или ещё чего-то.. ну стараюсь, чтобы "действовала логика предикатов, а не ассоциации", как товарищ сказал).

Вот, вроде, очевидные теоремы, а красивые)

[Joker_vD]

Ну вот и доказали все И это утверждение, что существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между теми идеалами $J$ в $R$, которые содержат $I$, и идеалами $\overline J$ в $R/I$, — не только красивое, но и очень в некоторых ситуациях полезное.

[VAL]

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

Кстати, а то, что в кольце вообще есть идеалы - это очевидно из чего-то следует?
Определение простого идеала: $C$ - простой, если $A \cdot B \in C \to A \in C$ или $B \in C$. В чём суть определения?

Судя по дальнейшим постам (включая цитату из Ваших лекций) речь идет о включении множеств. А Вы употребляете знак принадлежности (и слово "принадлежать"). Это совершенно разные понятия. Их отождествление приведет к противоречиям. Оно Вам надо?

Цитата:

Во-первых, тут ИЛИ - а что, оба принадлежать не могут?

А Вы в курсе, что обычная дизъюнкция (в отличие от исключающей) истинна в том случае, когда оба операнда истинны?

[Unconnected]

Цитата:

А Вы употребляете знак принадлежности (и слово "принадлежать").

Да-да, сходу в tex-е не нашёл просто..

А, прям таки настоящая дизъюнкция? А я по бытовому как-то толковал..)

[VAL]

Unconnected в сообщении #543610 писал(а):

А, прям таки настоящая дизъюнкция? А я по бытовому как-то толковал..)

По-моему, тут нет противоречия. "Или" и по бытовому означает дизъюнкцию. А исключающая дизъюнкция -это "либо ... либо".

(Оффтоп)

Хотя с "бытовой логикой" все не так просто.
Я встречал массу людей (по грубым оценкам их процентов 5-10), которые не отличают "и" и "или", считая эти слова синонимами.
А импликацию с эквиваленцией и вовсе не различают не менее половины народа.
Про отрицание импликации я уж и не говорю. Тут вообще беда.

[bot]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #543655 писал(а):

Про отрицание импликации я уж и не говорю. Тут вообще беда.

Ага, если надо доказать импликацию $A\Rightarrow B$, то от противного это делают так: пусть не $A$, докажем не $B$. У ферматистов это распространённая болезнь. А если ещё и кванторы в импликации присутствуют, то тогда вообще засада.

[VAL]

(Оффтоп)

bot в сообщении #543923 писал(а):

VAL в сообщении #543655 писал(а):

Про отрицание импликации я уж и не говорю. Тут вообще беда.

Ага, если надо доказать импликацию $A\Rightarrow B$, то от противного это делают так: пусть не $A$, докажем не $B$.

Или еще проще:
Пусть не $A$. Но нам дано $A$. Противоречие. Значит, утверждение доказано от противного. Самое замечательное, что от $B$ вообще ничего не зависит.

Цитата:

А если ещё и кванторы в импликации присутствуют, то тогда вообще засада.

Отрицание высказываний с кванторами - засада, даже без импликации.

[Unconnected]

Теорема, что если два идеала кольца не пересекаются (точнее, в пересечении 0), и в сумме дают кольцо, то кольцо изоморфно прямому произведению этих идеалов (которые при произведении рассматриваются, как кольца). И пример, $R:=Z/_{<6>}, I=<2>, J=<3>$, удовлетворяют условиям, значит $R \simeq I \times J \simeq R/_{<2>} \times R/_{<3>} $. Получается, в последнем равенстве-изоморфизме имеется в виду, что $I \simeq R/_{<3>}, а J \simeq R/_{<2>}$ (именно так, накрест)?. Но почему из этого следует, что прямое произведение тоже изоморфно R?