Числовые дуэты

[Ktina]

Два последовательных натуральных числа, сумма десятичных цифр каждого из которых является простым числом, назовём дуэтом.
Доказать бесконечность множества всех дуэтов.

Я решала так:
Простое число, большее трёх, может давать только остатки 1, 2, 4, 5, 7 или 8 при делении на 9.
Для остатка 1 имеем дуэт 1999...999, 2000...000.
Для остатка 2 - 2999...999, 3000...000.
Для остатка 4 - 4999...999, 5000...000.
Для остатка 7 - 97999...999, 98000...000.

Незадача с остатками 5 и 8.
Вижу единственный выход - доказать бесконечность множества простых чисел вида $6k+1$, тогда остатки 5 и 8 не нужны.

А может, я просто проглядела более элегантное решение?
Пожалуйста, помогите разобраться.
Заранее благодарна!

[hippie]

Например, числа $1000\dots 001$ и $1000\dots 002.$

-- 28.02.2012, 15:44 --

А с остатками 5 и 8 ничего не получится.
Если $n$ даёт остаток 5 или 8, то сумма цифр числа $n+1$ даёт остаток 6 или 0, и, следовательно, не может быть простым числом.

[Ktina]

hippie в сообщении #543499 писал(а):

Например, числа $1000\dots 001$ и $1000\dots 002.$

Неверно сформулировала условие, мой косяк.
Тогда так: для каждого натурального $n$ существует дуэт с суммой цифр, превышающей $n$.
(сумма цифр дуэта - это сумма сумм цифр каждого из обоих его элементов)

-- 28.02.2012, 16:01 --

hippie в сообщении #543499 писал(а):

А с остатками 5 и 8 ничего не получится.
Если $n$ даёт остаток 5 или 8, то сумма цифр числа $n+1$ даёт остаток 6 или 0, и, следовательно, не может быть простым числом.

Это и так понятно