2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
При некотором вещественном $p$ кубическое уравнение $x^3+px^2+3x-10=0$ имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$.
Найти $a, b, c$ и $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Единственное возможное значение $p$ равно $-6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Ktina в сообщении #543446 писал(а):
имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$


лучше сказать "образуют арифметическую прогрессию"

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #543448 писал(а):
Единственное возможное значение $p$ равно $-6$.

При $p=-6$ у нас один корень получается, а не три.
Вернее, три, но образующие арифметическую прогрессию с нулевой разностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:39 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: $p=6;\ a=-5;\ b=-2; c=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:39 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
alcoholist в сообщении #543449 писал(а):
Ktina в сообщении #543446 писал(а):
имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$


лучше сказать "образуют арифметическую прогрессию"

Согласна. Но, в таком случае, нужно добавить "с ненулевой разностью".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:42 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Теорема Виета приводит к кубическому уравнению относительно $b: \quad 2b^3-3b+10=0,$ у которого только один действительный корень: $b=-2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 13:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
hippie в сообщении #543453 писал(а):
Теорема Виета приводит к кубическому уравнению относительно $b: \quad 2b^3-3b+10=0,$ у которого только один действительный корень: $b=-2.$

Я тоже через Виета решала. А можно как-то без него?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 14:21 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Можно и без Виета, но будет немножко сложнее.

$x^3+px^2+3x-10 = (x-b)(x-a)(x-c) = $ $(x-b)((x-b)^2-(b-a)^2) = (x-b)^3 + k(x-b)$ (где $k=-(b-a)^2$)
Таким образом $3b^2+k=3$ и $b^3+kb=10.$ Умножив первое уравнение на $b$ и вычтя второе получим то же кубическое уравнение, что и в первом случае: $2b^3-3b+10 = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Ktina в сообщении #543460 писал(а):
А можно как-то без него?

Это проще)))

Обозначим наш многочлен $P(x)$

уравнение

$P(c)+P(a)-2P(b)=0$

дает $P''(b)=6b+2p=0$, откуда $2(p/3)^3=10+p$

-- Вт фев 28, 2012 14:34:54 --

Это просто вторая разностная производная -- многочлен первой степени

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 14:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ещё проще: очевидно, что центральный корень равен $-\frac p3$ (т.к. в этой точке в силу симметрии обращается в ноль не только сам многочлен, но и его вторая производная). Подставляя $-\frac p3$ в уравнение $x^3+px+3x-10=0$, сразу получаем кубическое уравнение для параметра: $2p^3-27p-270=0$. У которого действительно только один вещественный корень $p=6$. И поскольку теперь для полученного уравнения $x^3+6x+3x-10=0$ один корень $b=-\frac p3=-2$ мы уже заранее знаем -- остальные два находятся автоматически ну пусть хотя бы делением уголком.

 Профиль  
                  
 
 По-моему, из Виета проще.
Сообщение28.02.2012, 15:10 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Не вижу, чем проще.

Подробный вывод уравнения $2b^3-3b+10=0$ из Виета:

$3=b(a+c)+ac$ и $10=abc.$ Умножим первое равенство на $b$ и подставим в него второе: $3b = b\cdot b(a+c)+abc = 2b^3+10.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #543477 писал(а):
в этой точке в силу симметрии обращается в ноль не только сам многочлен, но и его вторая производная


Точка перегиба -- это уже перебор, мне кажется. Задача-то элементарная, для 7-го класса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение
Сообщение28.02.2012, 16:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

hippie в сообщении #543480 писал(а):
Не вижу, чем проще.

Тем, что думать не надо -- всё на автомате.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group