Кубическое уравнение

[Ktina]

При некотором вещественном $p$ кубическое уравнение $x^3+px^2+3x-10=0$ имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$.
Найти $a, b, c$ и $p$.

[nnosipov]

Единственное возможное значение $p$ равно $-6$.

[alcoholist]

Ktina в сообщении #543446 писал(а):

имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$

лучше сказать "образуют арифметическую прогрессию"

[Ktina]

nnosipov в сообщении #543448 писал(а):

Единственное возможное значение $p$ равно $-6$.

При $p=-6$ у нас один корень получается, а не три.
Вернее, три, но образующие арифметическую прогрессию с нулевой разностью.

[hippie]

Ответ: $p=6;\ a=-5;\ b=-2; c=1.$

[Ktina]

alcoholist в сообщении #543449 писал(а):

Ktina в сообщении #543446 писал(а):

имеет три вещественных корня $a, b, c$ таких, что $c-b=b-a>0$

лучше сказать "образуют арифметическую прогрессию"

Согласна. Но, в таком случае, нужно добавить "с ненулевой разностью".

[hippie]

Теорема Виета приводит к кубическому уравнению относительно $b: \quad 2b^3-3b+10=0,$ у которого только один действительный корень: $b=-2.$

[Ktina]

hippie в сообщении #543453 писал(а):

Теорема Виета приводит к кубическому уравнению относительно $b: \quad 2b^3-3b+10=0,$ у которого только один действительный корень: $b=-2.$

Я тоже через Виета решала. А можно как-то без него?

[hippie]

Можно и без Виета, но будет немножко сложнее.

$x^3+px^2+3x-10 = (x-b)(x-a)(x-c) = $ $(x-b)((x-b)^2-(b-a)^2) = (x-b)^3 + k(x-b)$ (где $k=-(b-a)^2$)
Таким образом $3b^2+k=3$ и $b^3+kb=10.$ Умножив первое уравнение на $b$ и вычтя второе получим то же кубическое уравнение, что и в первом случае: $2b^3-3b+10 = 0.$

[alcoholist]

Ktina в сообщении #543460 писал(а):

А можно как-то без него?

Это проще)))

Обозначим наш многочлен $P(x)$

уравнение

$P(c)+P(a)-2P(b)=0$

дает $P''(b)=6b+2p=0$, откуда $2(p/3)^3=10+p$

-- Вт фев 28, 2012 14:34:54 --

Это просто вторая разностная производная -- многочлен первой степени

[ewert]

Ещё проще: очевидно, что центральный корень равен $-\frac p3$ (т.к. в этой точке в силу симметрии обращается в ноль не только сам многочлен, но и его вторая производная). Подставляя $-\frac p3$ в уравнение $x^3+px+3x-10=0$, сразу получаем кубическое уравнение для параметра: $2p^3-27p-270=0$. У которого действительно только один вещественный корень $p=6$. И поскольку теперь для полученного уравнения $x^3+6x+3x-10=0$ один корень $b=-\frac p3=-2$ мы уже заранее знаем -- остальные два находятся автоматически ну пусть хотя бы делением уголком.

[hippie]

Не вижу, чем проще.

Подробный вывод уравнения $2b^3-3b+10=0$ из Виета:

$3=b(a+c)+ac$ и $10=abc.$ Умножим первое равенство на $b$ и подставим в него второе: $3b = b\cdot b(a+c)+abc = 2b^3+10.$

[alcoholist]

ewert в сообщении #543477 писал(а):

в этой точке в силу симметрии обращается в ноль не только сам многочлен, но и его вторая производная

Точка перегиба -- это уже перебор, мне кажется. Задача-то элементарная, для 7-го класса.

[ewert]

(Оффтоп)

hippie в сообщении #543480 писал(а):

Не вижу, чем проще.

Тем, что думать не надо -- всё на автомате.