Два тела

[dovlato]

В теле массой $M$ зафиксирована некоторая точка О. На заданном расстоянии $R$ от этой точки находится масса $m$ малых размеров.
Размеры обоих тел меньше $R$. Найти среднюю величину потенциальной энергии их гравитационных сил,
если ориентация $m$ относительно точки О произвольна - любые направления равновозможны.

[svv]

Тело $M$ надо разбить на сферические слои $S(r)$ с центром $O$ и массу каждого слоя размазать равномерно по слою. От этого средний потенциал, создаваемый каждым слоем $S(r)$ на сфере $S(R)$, не изменится. Но теперь тело $M$ стало сферически симметричным, и по теореме Гаусса всю его массу можно собрать в точке $O$, что не изменит средний по сфере $S(R)$ потенциал, создаваемый телом $M$.

[dovlato]

Я тоже опирался на теорему Гаусса. Однако массу М размазывать не стал (непонятно, как это сделать, ничего не зная о форме М), а распределил $m$ по сфере радиуса $R$. Получился любопытный ответ. Мне кажется, эту задачу можно считать физической интерпретацией одной из задач В. Арнольда - для студентов.

[svv]

Чуть подробнее опишу "размазывание". Берем часть тела, заключенную между $S(r)$ и $S(r+dr)$ ("слой"), и разбиваем на бесконечно малые части ("массочки"), масса каждой равна $dm$.

1) Потенциал, создаваемый слоем в каждой точке сферы $S(R)$ (где находится пробная масса), равен сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждой массочкой $dm$. Значит, и средний по сфере $S(R)$ потенциал, создаваемый слоем, равен среднему по сфере $S(R)$ потенциалу, создаваемому каждой массочкой.

2) Средний по сфере $S(R)$ потенциал, создаваемый одной массочкой, может зависеть только от $r$, но не от её положения на сфере $S(r)$. Это в силу симметрии.

Значит, средний по $S(R)$ потенциал, создаваемый массочкой, не изменится, если переместить её в пределах $S(r)$, т.е. сохраняя расстояние от точки $O$. Соответственно, не изменится и её вклад в средний потенциал, создаваемый слоем.

Так распределим все массочки равномерно по сфере $S(r)$.

[obar]

Считаем тело массы $m$ точечным. Раскладываем $\frac1{|\vec{R}-\vec{r}|}$ по полиномам Лежандра и усредняем по всем ориентациям $\vec{R}$. После интегрирования получаем

$$\overline{U}=\frac{GMm}{R}.$$

[dovlato]

svv, obar, спасибо за обсуждение. Тут, оказывается, возможно несколько подходов.
Не будучи физиком-теоретиком, я конечно, не имел в виду разложение по полиномам)).
Моё решение симметрично предложенному svv. Я размазал по сфере радиуса $R$ точечную массу $m$.
После чего масса M оказалась заключённой в сфере массой $m$. Поскольку внутри неё поля нет, потенциал поля сферы равен $\varphi=Gm/R^2$.
А средняя потенциальная энергия взаимодействия, следовательно, $\overline{U}=GMm/R$. То есть, не зависит от выбранной точки О (!).
Отсюда, если не ошибаюсь, можно получить несколько любопытных следствий.
Например, такое. Пусть даны два твёрдых тела конечных размеров, и в каждом из них зафиксирована своя точка, $O_1, O_2.$
Массы тел $m_{1,2}$. Расстояние между точками $R=\operatorname{const}$.
Ориентации каждого тела относительно $R$ случайны, независимы и изотропны, и ни при каких из них тела не пересекаются.
Тогда мат. ожидание потенциальной энергии $\overline{U}(R)=Gm_1m_2/R.$