2-я вариация (физика): достаточное условие положительности

[zask]

Уважаемые специалисты по математике и матфизике, кто может подсказать каков критерий положительности данной формы? Условия на функции - обычные условия, используемые в физике (это некоторые "функции распределения"). Вариация производиться при условии, что в среднем по объему она равна нулю. Каждое интегрирование - по трехмерному пространству. Заранее спасибо.

$ \\ \delta^2\mathcal{W} = \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(1)}(\bm{r}_1) [\delta v(\bm{r}_1)]^2 d\bm{r}_1 + \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2) \delta v(\bm{r}_1)\delta v(\bm{r}_2) d\bm{r}_1 d\bm{r}_2\\ $

[mihiv]

Например,$\mathcal F^{(1)}(r_1)>0,\mathcal F^{(2)}(r_1,r_2)=const.$

[zask]

Я понимаю вашу мысль: это действительно достаточно. Но в вариационном исчислении под достаточным условием обычно понимают не банальность, а нечто близкое к необходимости. Тривиальности не интересуют. Например, если вам интересно, гляньте критерий Веерштрассе - он является достаточным, но для другой задачи. В то же время, он не банален. Иными словами, и это было очевидно, если говорить не о букве, а о сути, требуется хорошая достаточность.

[zask]

Может быть существенно, что функция первого ранга по условию всегда положительна, а второго - симметрична по перестановке индексов и зависит от модуля разницы радиус-векторов.

[mihiv]

(Оффтоп)

zask в сообщении #543274 писал(а):

требуется хорошая достаточность.

Довольно размытый критерий.В конечном счете нам нужно выделить некоторый класс функций.

Могу предложить еще такое условие(тоже простое):$\mathcal F^{(1)}(r_1)-\int \limits _V|\mathcal F^{(2)}(|r_2-r_1|)|dr_2\geqslant 0$

[zask]

Это уже гораздо веселее, спасибо! Сейчас буду пробовать этот вариант. Похоже, что-то близкое к мишени.

====

С небольшой модернизацией что-то вроде получается (знак + перед интегралом.) Не до конца пока понял важна ли положительность второй функции. Она, к сожалению знакопеременна.

[zask]

Не заметил модуля под интегралом. Это не пойдет - слишком грубая оценка. Для этих функций существует такое условие

$\begin{equation} \mathcal{F}^{(1)}(\bm{r}_1) + \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2) d\bm{r}_2 > 0 \nonumber. \end{equation}$

-- 28.02.2012, 22:28 --

Продвигаюсь пока сам: из последнего условия следует, что для длинноволновых $\delta v$ теорема верна. В пределе очень коротких, вероятно, тоже, поскольку $\delta v$ становиться быстро осциллирующей функцией и зануляет второй член. Первый же член в силу квадратичности $\delta v$ сохраняется и поскольку первая функция положительна, теорема также верна.

Как доказать в общем случае пока не пойму.

[zask]

Нашел вариант решения, хотя и с другой стороны. Но в данной постановке задача также представляет интерес. Если кто найдет ответ или натолкнет на продуктивную идею - буду признателен.

[mihiv]

Легко убедиться,что

$ \\ \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2) \delta v(\bm{r}_1)\delta v(\bm{r}_2) d\bm{r}_1 d\bm{r}_2\\ $
не изменится,если к $\mathcal F^{(2)}(r_1,r_2)$ прибавить произвольную функцию $f(r_2)$ и произвольную антисимметричную функцию $g_a(r_1,r_2)$,но тогда эти произвольные функции появятся в оценке:

$$\mathcal F^{(1)}(r_1)-\int \limits _V|\mathcal F^{( 2)}(r_1,r_2)+f(r_2)+g_a(r_1,r_2)|dr_1dr_2\geqslant 0$$

Очень похоже,что подбором произвольных функций $f$ и $g_a$ это условие можно выполнить.

[zask]

Да нет, это условие не надо выполнять, оно как раз уже присуще этим функциям. Надо найти нечто типа дифуры или чего-то подобного.