Система с параметром

[BARABUMBA]

При каких значениях a система уравнений $\begin{cases}x^2-4y^2=1\\ax+y=b\end{cases}$ разрешима при любых b?
Как решить это задание и как в целом решать такие примеры?

[erwins]

подставить в первое уравнение второе $x^2-4(b-ax)^2=1$
$(1-4a^2)x^2+8bax-(4b^2-1)=0$
далее дискриминант должен быть больше или равен 0

$(8ba)^2+4(1-4a^2)(4b^2-1)\geqslant 0$
$64b^2a^2-64a^2b^2+16a^2+16b^2-4 \geqslant 0$
$4b^2 \geqslant 1-4a^2$
так как для любого $b$ и учитывая, что $b^2\geqslant 0$

$1-4a^2 \leqslant 0$

$-\frac{1}{2}\geqslant a
a \geqslant \frac{1}{2}$

[nnosipov]

BARABUMBA в сообщении #542913 писал(а):

Как решить это задание и как в целом решать такие примеры?

Полезно картинки рисовать. Вот здесь, например, ответ очевиден: $|a|<1/2$. Но, правда, надо знать, что такое гипербола. А иначе --- исследовать получающееся квадратное уравнение (но не так неаккуратно, как это выше делал erwins).

[Toucan]

erwins, предупреждение за размещение решения простой учебной задачи. Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27358.html#p27358 писал(а):

2. Помощь в решении учебных задач
Форум способствует процессу обучения и образования, а не процессу сдачи зачетов и экзаменов, тем более при отсутствии необходимых для этого знаний. Во всех разделах форума запрещается размещать готовые решения простых учебных задач.

[BARABUMBA]

nnosipov в сообщении #542953 писал(а):

BARABUMBA в сообщении #542913 писал(а):

Как решить это задание и как в целом решать такие примеры?

Полезно картинки рисовать. Вот здесь, например, ответ очевиден: $|a|<1/2$. Но, правда, надо знать, что такое гипербола. А иначе --- исследовать получающееся квадратное уравнение (но не так неаккуратно, как это выше делал erwins).

Если я изобразил гиперболу, то что дальше делать? Во втором уравнении получается $y=b-ax$, где b - любое число. Как теперь найти коэффициент угла наклона?

[nnosipov]

А теперь подумайте, когда прямая будет пересекаться с этой гиперболой. Вспомните про асимптоты гиперболы.

[alcoholist]

BARABUMBA в сообщении #542969 писал(а):

Если я изобразил гиперболу, то что дальше делать?

Даже не надо гиперболу "изображать", только узнать угловые коэффициенты ее асимптот, которые делят плоскость на 4 части

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #542978 писал(а):

Даже не надо гиперболу "изображать",

Но ведь nnosipov же честно признался:

nnosipov в сообщении #542953 писал(а):

Но, правда, надо знать, что такое гипербола.

Школьники же (как класс) её не знают. Задачка же явно школьная.

[BARABUMBA]

nnosipov в сообщении #542953 писал(а):

BARABUMBA в сообщении #542913 писал(а):

Как решить это задание и как в целом решать такие примеры?

А иначе --- исследовать получающееся квадратное уравнение (но не так неаккуратно, как это выше делал erwins).

Как тогда правильно исследовать? Или просто там со знаком перед 1 напутано?

[ewert]

Я в детали и в знаки не вникал, но как минимум один зевок там точно есть: случай $a=\pm\frac12$ -- особый, его и рассматривать надо отдельно. А так, идейно -- было правильно.

-- Пн фев 27, 2012 18:09:40 --

А, ну да, там где-то ещё и направление неравенства перепутано, конечно (лень вникать, где конкретно).

[nnosipov]

BARABUMBA в сообщении #543194 писал(а):

Или просто там со знаком перед 1 напутано?

Во-первых, дискриминант был вычислен неправильно. Во-вторых, само уравнение не всегда будет квадратным, и этот случай нужно рассмотреть отдельно.

[BARABUMBA]

Проверьте, пожалуйста:
$x^2-4(b-ax)^2=0$
$(1-4a^2)x^2+8abx-(4b^2+1)=0$
1) если $|a|=\frac12$
$8abx-4b^2-1=0$
$8abx=1+4b^2$
$4bx=1+4b^2$ или $-4bx=1+4b^2$
Правая часть всегда больше 0, значит единственный случай, когда нет решений, если $b=0$.
Так как b-любое число, то выходит, что $|a|\not=\frac12$
2) если $|a|\not=\frac12$
$D=64a^2+4(4b^2+1)(1-4a^2)=16b^2-16a^2+4$
$16b^2-16a^2+4\geqslant0$
$4b^2\geqslant4a^2-1$
$4a^2-1\leqslant0$
$|a|\leqslant\frac12$, но так как $|a|\not=\frac12$, $|a|<\frac12$
Ответ:$|a|<\frac12$