не получилось решить 2 задачи из Демидовича

[krupov]

Решал весь день и весь вечер, не получилось решить 2 задачи из Демидовича. Может есть более простые методы решения?





Дальше не совпадает с ответом, так как множитель перед второй производной по u не обнуляется...

Вторая задача в оффтопе.

(Оффтоп)

А дальше совсем не понятно что делать

[svv]

Вот в этом уравнении
$\omega'_u(z+yz'_y)+(xz'_y-1)\omega'_v=x-z'_y$
когда переносили $\omega'_u z$ в правую часть, то не поменяли знак. Из него должно было получиться
$z'_y(\omega'_u y+\omega'_v x+1)=-\omega'_u z+\omega'_v+x$

[krupov]

svv в сообщении #543059 писал(а):

Вот в этом уравнении
$\omega'_u(z+yz'_y)+(xz'_y-1)\omega'_v=x-z'_y$
когда переносили $\omega'_u z$ в правую часть, то не поменяли знак.

Спасибо огромное!!!! Я исправил эту ошибку и еще одну и все получилось в первой задаче. А как во второй быть (которая в оффтопе)? Возможно ли такое дорешать?

[krupov]

Главная проблема в том, что преобразовать нужно уравнение содержащее вторые частные производные по $x$ и $y$, а я получил уравнения, которые содержат первые частные производные по $x$ и по $y$, а от них не избавиться совсем.

Небольшой вопрос по первому заданию:

У меня в первом задании получилось такое выражение $\omega'_v\cdot F(x,y,z)=0$ . $F(x,y,z)$ - некая функция. Почему из этого неминуемо следует, что только $\omega'_v=0$, почему мы "забываем" про $F(x,y,z)=0$ ? (в ответах только $\omega'_v=0$) ?

[krupov]

Вторую задачу пытался решить другим способом. Не получилось. Должны были обнулиться члены перед всеми производными, кроме $\omega''_{vv}$

[svv]

По первой задаче.

krupov писал(а):

Может есть более простые методы решения?

Вот другой метод, "геометрический".
Пусть дано уравнение $a_x z'_x+a_y z'_y=a_z$, где $a_x, a_y, a_z$ -- функции координат. Тогда значения $a_x, a_y, a_z$ в точке можно истолковать как компоненты вектора в координатах $x,y,z$, касательного к интегральной поверхности (теоретические подробности опускаю). А раз так, надо лишь найти его компоненты $a_u, a_v, a_w$ в координатах $u,v,w$ по формуле преобразования компонент, и это автоматически даст уравнение в новых координатах:
$a_u w'_u+a_v w'_v=a_w$.

Вот расчёт. В данном методе при вычислении частных производных все три координаты в каждом наборе независимы, т.е. нет никаких $z(x,y)$ и $w(u, v)$.

$$\begin{bmatrix}a_u\\a_v\\a_w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u'_x&u'_y&u'_z\\v'_x&v'_y&v'_z\\w'_x&w'_y&w'_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&z&y\\z&-1&x\\y&x&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}xy+z\\1-y^2\\x+yz\end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{l}a_u=-(xy+z)+z(1-y^2)+y(x+yz)=0\\ a_v=z(xy+z)-(1-y^2)+x(x+yz)=x^2+y^2+z^2+2xyz-1\\ a_w=y(xy+z)+x(1-y^2)-(x+yz)=0\end{array}$$

Таким образом, $a_u=0, a_w=0$, и уравнение в новых координатах имеет вид $a_v w'_v=0$.

krupov писал(а):

У меня в первом задании получилось такое выражение $\omega'_v\cdot F(x,y,z)=0$ . $F(x,y,z)$ - некая функция. Почему из этого неминуемо следует, что только $\omega'_v=0$, почему мы "забываем" про $F(x,y,z)=0$ ? (в ответах только $\omega'_v=0$) ?

У меня, как видите, тоже так получилось. Но если найти $z(x,y)$ в явном виде из условия $F(x,y,z)=0$ и подставить в исходное уравнение, оно не удовлетворится.

Можно заметить, что $a_v=x^2+y^2+z^2+2xyz-1$ -- это как раз якобиан преобразования координат, $\frac{D(u,v,w)}{D(x,y,z)}$, для этого достаточно вычислить определитель матрицы, которую я выписал выше. И обращение этого выражения в нуль просто свидетельствует о том, что преобразование координат становится вырожденным, а не об удовлетворении уравнения в исходных координатах.

[krupov]

svv в сообщении #543359 писал(а):

По первой задаче.

krupov писал(а):

Может есть более простые методы решения?

Вот другой метод, "геометрический".

Вот расчёт. В данном методе при вычислении частных производных все три координаты в каждом наборе независимы, т.е. нет никаких $z(x,y)$ и $w(u, v)$.

$$\begin{bmatrix}a_u\\a_v\\a_w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u'_x&u'_y&u'_z\\v'_x&v'_y&v'_z\\w'_x&w'_y&w'_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&z&y\\z&-1&x\\y&x&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}xy+z\\1-y^2\\x+yz\end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{l}a_u=-(xy+z)+z(1-y^2)+y(x+yz)=0\\ a_v=z(xy+z)-(1-y^2)+x(x+yz)=x^2+y^2+z^2+2xyz-1\\ a_w=y(xy+z)+x(1-y^2)-(x+yz)=0\end{array}$$

Таким образом, $a_u=0, a_w=0$, и уравнение в новых координатах имеет вид $a_v w'_v=0$.

Спасибо, отличный метод , так все симметрично и рационально выглядит.

А можно ли "геометрически" что-то подобное сделать для производных второго порядка?

То есть от уравнения $a_{xx} z''_{xx}+a_{xy} z''_{xy}+a_{yy}z''_{xy}=0$

перейти к уравнению $a_{uu} z''_{uu}+a_{uv} z''_{uv}+a_{vv}z''_{vv}=0$

Используя подобные матричные преобразования? Что-то в таком духе, допустим.

$$\begin{bmatrix}a_{uu}\\a_{uv}\\a_{vv}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u''_{xx}&u''_{xy}&u''_{yy}\\v''_{xx}&v''_{xy}&v''_{yy}\\w''_{xx}&w''_{xy}&w''_{yy}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{xx}\\a_{xy}\\a_{yy}\end{bmatrix}$$

-- 28.02.2012, 04:19 --

Кажется, что я написал бред, ибо $z$ не присутствует в уравнении

[krupov]

Быть может можно пойти еще таким путем?

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}-2\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}+ \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$

$\Big(\dfrac{\partial^2 }{\partial x^2}-2\dfrac{\partial^2 }{\partial x\partial y}+ \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}\Big)z=0$

$\Big(\dfrac{\partial }{\partial x}-\dfrac{\partial }{\partial y}\Big)^2z=0$

$\Big(\dfrac{\partial }{\partial x}-\dfrac{\partial }{\partial y}\Big)\Big(\dfrac{\partial }{\partial x}-\dfrac{\partial}{\partial y}\Big)z=0$

Обозначим $\hat L=\dfrac{\partial }{\partial x}-\dfrac{\partial }{\partial y}$

$\hat L^2 z=0$

Пусть $\varphi = \hat L z$

Тогда исходное уравнение примет вид $\hat L \varphi = 0$

Можно ли сначала в уравнении $\hat L \varphi = 0$ перейти к новым переменным, а потом что-то придумать насчет $\varphi = \hat L z$ или это тупиковый путь?

[PAV]

krupov
эту тему в виде исключения оставим как есть, однако на будущее: не разрешается размещать сканы таких записей, весь текст должен быть набран в форуме формулами

[krupov]

PAV в сообщении #543752 писал(а):

krupov
эту тему в виде исключения оставим как есть, однако на будущее: не разрешается размещать сканы таких записей, весь текст должен быть набран в форуме формулами

Спасибо, понял. Я бы набрал, но текста очень уж много. Ок, буду иметь ввиду.